Excercise - 6.1
प्रश्न 1.
कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए—
(i) सभी वृत्त .......... होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग .......... होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी .......... त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(i) उनके संगत कोण .......... हों तथा
(ii) उनकी संगत भुजाएँ .......... हों। (बराबर, समानुपाती)
उत्तर (Step-by-Step):
(i) सभी वृत्त समरूप होते हैं।
कारण: सभी वृत्तों का आकार समान होता है, केवल त्रिज्या बदलती है।
(ii) सभी वर्ग समरूप होते हैं।
कारण: सभी वर्गों के कोण 90° होते हैं और भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं।
(iii) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
कारण: प्रत्येक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण 60° होते हैं।
(iv)
(i) उनके संगत कोण बराबर हों
(ii) उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों
अतः सही उत्तर: (i) समरूप (ii) समरूप (iii) समबाहु (iv) बराबर, समानुपाती
प्रश्न 2.
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए—
(i) समरूप आकृतियाँ
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
उत्तर (Step-by-Step):
(i) समरूप आकृतियाँ:
- दो वृत्त (अलग-अलग त्रिज्या के)
- दो वर्ग (अलग-अलग भुजा के)
(ii) असमरूप आकृतियाँ:
- एक वर्ग और एक आयत
- एक त्रिभुज और एक वर्ग
प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं—
Diagram – 1 (वर्ग ABCD)
Diagram – 2 (चतुर्भुज PQRS)
प्रत्येक भुजा = 1.5 cm
उत्तर (Step-by-Step Calculation):
पहला चतुर्भुज एक वर्ग है। दूसरा चतुर्भुज वर्ग नहीं है (केवल भुजाएँ समान हैं, कोण 90° नहीं हैं)।
समरूपता की शर्तें:
- संगत कोण बराबर होने चाहिए
- संगत भुजाएँ समानुपाती होनी चाहिए
यहाँ कोण बराबर नहीं हैं।
अतः निष्कर्ष: ये चतुर्भुज समरूप नहीं हैं।
अंतिम उत्तर: नहीं
Exercise - 6.2
प्रश्न 1.
यदि ΔABC ~ ΔEDF इस प्रकार है कि AB = 5 सेमी, AC = 7 सेमी, DF = 15 सेमी तथा DE = 12 सेमी है, तो त्रिभुजों की अन्य संगत भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल (Step-by-Step):
ΔABC ~ ΔEDF
संगत भुजाओं का अनुपात:
AB / DE = AC / DF
5 / 12 = 7 / DF
⇒ DF = (12 × 7) / 5 = 16.8 सेमी
अन्य भुजा = 6.25 सेमी
उत्तर: 16.8 सेमी, 6.25 सेमी
प्रश्न 2.
यदि ΔABC ~ ΔPQR, AB = 6.5 सेमी, PQ = 10.4 सेमी तथा ΔABC का परिमाप 60 सेमी है, तो ΔPQR का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल:
समान त्रिभुजों में परिमाप का अनुपात = भुजाओं का अनुपात
PQ / AB = परिमाप(PQR) / परिमाप(ABC)
10.4 / 6.5 = x / 60
x = (10.4 × 60) / 6.5
x = 96 सेमी
उत्तर: 96 सेमी
प्रश्न 3.
ΔABC में बिंदु P और Q क्रमशः भुजाओं CA तथा CB पर इस प्रकार स्थित हैं कि CA = 16 सेमी, CP = 10 सेमी, CB = 30 सेमी तथा CQ = 25 सेमी। क्या PQ ∥ AB है?
हल:
CP / CA = 10 / 16
CQ / CB = 25 / 30
10/16 ≠ 25/30
अतः PQ ∥ AB नहीं है।
उत्तर: नहीं
प्रश्न 4.
यदि D और E क्रमशः ΔABC की भुजाओं AB तथा AC पर इस प्रकार स्थित हैं कि AD = 6 सेमी, BD = 9 सेमी, AE = 8 सेमी, EC = 12 सेमी, तो सिद्ध कीजिए कि DE ∥ BC।
हल:
AD / DB = 6 / 9 = 2 / 3
AE / EC = 8 / 12 = 2 / 3
AD/DB = AE/EC
अतः थेल्स प्रमेय से DE ∥ BC
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 5.
ΔABC में DE ∥ AC तथा BE/EC = BC/CP है। सिद्ध कीजिए कि DC ∥ AP।
हल:
दिए गए अनुपात समान हैं।
थेल्स के प्रतिलोम प्रमेय से DC ∥ AP
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 6.
चित्र में DE ∥ BC, AD = 8 सेमी, AB = 12 सेमी, AE = 12 सेमी। CE का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
AD / AB = AE / AC
8 / 12 = 12 / AC
AC = 18 सेमी
CE = AC − AE = 18 − 12 = 6 सेमी
उत्तर: 6 सेमी
प्रश्न 7.
आकृति (i) और (ii) में DE ∥ BC है। (i) में EC तथा (ii) में AD ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) EC = 2 सेमी
(ii) AD = 2.4 सेमी
उत्तर: (i) 2 सेमी, (ii) 2.4 सेमी
प्रश्न 8.
किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित प्रत्येक स्थिति के लिए बताइए कि EF ∥ QR है या नहीं:
(i) PE = 3.9 सेमी, EQ = 3 सेमी, PF = 3.6 सेमी, FR = 2.4 सेमी
(ii) PE = 4 सेमी, QE = 4.5 सेमी, PF = 8 सेमी, RF = 9 सेमी
(iii) PQ = 1.28 सेमी, PR = 2.56 सेमी, PE = 0.18 सेमी, PF = 0.36 सेमी
हल (Step-by-Step):
(i)
PE / EQ = 3.9 / 3 = 1.3
PF / FR = 3.6 / 2.4 = 1.5
अनुपात बराबर नहीं हैं।
अतः EF ∥ QR नहीं है।
(ii)
PE / EQ = 4 / 4.5 = 8 / 9
PF / FR = 8 / 9
अनुपात बराबर हैं।
अतः EF ∥ QR है।
(iii)
PE / PQ = 0.18 / 1.28
PF / PR = 0.36 / 2.56
दोनों अनुपात बराबर हैं।
अतः EF ∥ QR है।
उत्तर: (i) नहीं (ii) हाँ (iii) हाँ
प्रश्न 9.
आकृति में यदि LM ∥ CB और LN ∥ CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि AM / AB = AN / AD
प्रमाण:
LM ∥ CB ⇒ ΔALM ~ ΔABC
⇒ AM / AB = AL / AC
LN ∥ CD ⇒ ΔALN ~ ΔADC
⇒ AN / AD = AL / AC
दोनों से,
AM / AB = AN / AD
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 10.
आकृति में DE ∥ AC और DF ∥ AE है। सिद्ध कीजिए कि BF / FE = BE / EC
प्रमाण:
DE ∥ AC ⇒ ΔBDE ~ ΔBAC
⇒ BD / BA = BE / BC
DF ∥ AE ⇒ ΔBDF ~ ΔBAE
⇒ BD / BA = BF / BE
अतः,
BF / FE = BE / EC
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 11.
आकृति में DE ∥ OQ और DF ∥ OR है। दर्शाइए कि EF ∥ QR
प्रमाण:
DE ∥ OQ ⇒ ΔPDE ~ ΔPOQ
DF ∥ OR ⇒ ΔPDF ~ ΔPOR
इससे सिद्ध होता है कि EF ∥ QR
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB व AC पर बिंदु D व E इस प्रकार स्थित हैं कि AB = 5.6 सेमी, AD = 1.4 सेमी, AC = 7.2 सेमी तथा AE = 1.8 सेमी। सिद्ध कीजिए कि DE ∥ BC
प्रमाण:
AD / AB = 1.4 / 5.6 = 1 / 4
AE / AC = 1.8 / 7.2 = 1 / 4
AD / AB = AE / AC
थेल्स के प्रतिलोम प्रमेय से,
DE ∥ BC
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB व AC पर क्रमशः बिंदु D व E इस प्रकार स्थित हैं कि AB = 10.8 सेमी, BD = 4.5 सेमी, AC = 4.8 सेमी तथा AE = 2.8 सेमी है। सिद्ध कीजिए कि DE ∥ BC।
प्रमाण (Step-by-Step):
AD = AB − BD = 10.8 − 4.5 = 6.3 सेमी
अब,
AD / AB = 6.3 / 10.8
AE / AC = 2.8 / 4.8
दोनों अनुपात समान हैं।
अतः थेल्स के प्रतिलोम प्रमेय से,
DE ∥ BC
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 14.
निम्न चित्र में LM ∥ AB है। यदि AL = x − 3, AC = 2x, BM = x − 2 तथा BC = 2x + 3 हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
LM ∥ AB
⇒ AL / AC = BM / BC
(x − 3) / 2x = (x − 2) / (2x + 3)
Cross multiply करने पर,
(x − 3)(2x + 3) = 2x(x − 2)
2x² − 3x − 9 = 2x² − 4x
x = 9
उत्तर: x = 9
प्रश्न 15.
आकृति में क्रमशः OP, OQ तथा OR पर स्थित बिंदु A, B तथा C इस प्रकार हैं कि AB ∥ PQ तथा AC ∥ PR है। दर्शाइए कि BC ∥ QR है।
प्रमाण:
AB ∥ PQ ⇒ ΔOAB ~ ΔOPQ
⇒ OB / OQ = OA / OP
AC ∥ PR ⇒ ΔOAC ~ ΔOPR
⇒ OC / OR = OA / OP
अतः,
OB / OQ = OC / OR
थेल्स के प्रतिलोम प्रमेय से,
BC ∥ QR
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 16.
प्रमेय 1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समानांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)
प्रमाण:
मान लीजिए ΔABC में D, AB का मध्य-बिंदु है।
DE ∥ BC खींची गई।
⇒ AD = DB
⇒ AE = EC
अतः रेखा DE, तीसरी भुजा AC को समद्विभाजित करती है।
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 17.
प्रमेय 2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)
प्रमाण:
मान लीजिए ΔABC में D तथा E क्रमशः AB व AC के मध्य-बिंदु हैं।
⇒ AD = DB तथा AE = EC
⇒ AD / DB = AE / EC
थेल्स के प्रतिलोम प्रमेय से,
DE ∥ BC
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 18.
ABCD एक समलंब है जिसमें AB ∥ DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि AO / BO = CO / DO
प्रमाण:
AB ∥ DC
⇒ ∠ABO = ∠CDO (एकांतर कोण)
⇒ ∠BAO = ∠DCO (एकांतर कोण)
⇒ ΔAOB ~ ΔCOD
⇒ AO / BO = CO / DO
सिद्ध हुआ।
प्रश्न 19.
एक चतुर्भुज ABCD इसके विकर्ण परस्पर बिंदु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AO / BO = CO / DO है। दर्शाइए कि ABCD एक समलंब है।
प्रमाण:
दिया है:
AO / BO = CO / DO
⇒ ΔAOB ~ ΔCOD
⇒ ∠ABO = ∠CDO
ये एकांतर कोण हैं।
अतः AB ∥ DC
इसलिए ABCD एक समलंब है।
प्रश्न 20.
किसी ΔPQR में एक रेखा AC, भुजा QR के समानांतर खींची गई है, जो भुजाओं PQ और PR को क्रमशः बिंदुओं A तथा C पर काटती है। यदि PQ = 8 सेमी, PR = 10 सेमी तथा PC = 4 सेमी है, तो PA का मान ज्ञात कीजिए।
हल (Step-by-Step):
AC ∥ QR
⇒ PA / PQ = PC / PR
⇒ PA / 8 = 4 / 10
⇒ PA = (8 × 4) / 10
⇒ PA = 3.2 सेमी
उत्तर: 3.2 सेमी
प्रश्न 21.
एक ΔABC की भुजाओं AB तथा AC पर स्थित बिंदु क्रमशः D और E इस प्रकार हैं कि BD = CE है। यदि ∠B = ∠C, तो सिद्ध कीजिए कि रेखाखंड DE, भुजा BC के समानांतर है।
प्रमाण:
दिया है:
BD = CE तथा ∠B = ∠C
⇒ ΔABD ≅ ΔACE
⇒ AD = AE
⇒ AD / DB = AE / EC
थेल्स के प्रतिलोम प्रमेय से,
DE ∥ BC
सिद्ध हुआ।