Exercise – 3.1
प्रश्न 1.
सिद्ध करें कि c का एक ऐसा मान है जिसके लिए निकाय
cx + 3y = c − 3
12x + cy = c
के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं। इस मान को ज्ञात करें।
सिद्ध करें कि c का एक ऐसा मान है जिसके लिए निकाय
cx + 3y = c − 3
12x + cy = c
के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं। इस मान को ज्ञात करें।
समीकरण (1): cx + 3y − (c − 3) = 0
समीकरण (2): 12x + cy − c = 0
यहाँ,
a₁ = c , b₁ = 3 , c₁ = −(c − 3)
a₂ = 12 , b₂ = c , c₂ = −c
अनन्त हल के लिए शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
c/12 = 3/c = (c − 3)/c
पहला अनुपात लें:
c/12 = 3/c
c × c = 12 × 3
c² = 36
c = 6 या c = −6
अब तीसरा अनुपात लें:
(c − 3)/c = c/12
c = 6 रखने पर:
(6 − 3)/6 = 6/12
3/6 = 1/2 ✔
c = −6 रखने पर:
(−6 − 3)/(−6) ≠ −6/12 ✘
समीकरण (2): 12x + cy − c = 0
यहाँ,
a₁ = c , b₁ = 3 , c₁ = −(c − 3)
a₂ = 12 , b₂ = c , c₂ = −c
अनन्त हल के लिए शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
c/12 = 3/c = (c − 3)/c
पहला अनुपात लें:
c/12 = 3/c
c × c = 12 × 3
c² = 36
c = 6 या c = −6
अब तीसरा अनुपात लें:
(c − 3)/c = c/12
c = 6 रखने पर:
(6 − 3)/6 = 6/12
3/6 = 1/2 ✔
c = −6 रखने पर:
(−6 − 3)/(−6) ≠ −6/12 ✘
अतः c = 6
प्रश्न 2.
अनुपातों a₁/a₂ , b₁/b₂ , c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि दी गई रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।
(i) 5x − 4y + 8 = 0 तथा 7x + 6y − 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0 तथा 18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x − 3y + 10 = 0 तथा 2x − y + 9 = 0
अनुपातों a₁/a₂ , b₁/b₂ , c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि दी गई रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं।
(i) 5x − 4y + 8 = 0 तथा 7x + 6y − 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0 तथा 18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x − 3y + 10 = 0 तथा 2x − y + 9 = 0
(i)
पहला समीकरण : 5x − 4y + 8 = 0
⇒ a₁ = 5 , b₁ = −4 , c₁ = 8
दूसरा समीकरण : 7x + 6y − 9 = 0
⇒ a₂ = 7 , b₂ = 6 , c₂ = −9
a₁/a₂ = 5/7
b₁/b₂ = −4/6
= −2/3
5/7 ≠ −2/3
पहला समीकरण : 5x − 4y + 8 = 0
⇒ a₁ = 5 , b₁ = −4 , c₁ = 8
दूसरा समीकरण : 7x + 6y − 9 = 0
⇒ a₂ = 7 , b₂ = 6 , c₂ = −9
a₁/a₂ = 5/7
b₁/b₂ = −4/6
= −2/3
5/7 ≠ −2/3
रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं
(ii)
पहला समीकरण : 9x + 3y + 12 = 0
⇒ a₁ = 9 , b₁ = 3 , c₁ = 12
दूसरा समीकरण : 18x + 6y + 24 = 0
⇒ a₂ = 18 , b₂ = 6 , c₂ = 24
a₁/a₂ = 9/18 = 1/2
b₁/b₂ = 3/6 = 1/2
c₁/c₂ = 12/24 = 1/2
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
पहला समीकरण : 9x + 3y + 12 = 0
⇒ a₁ = 9 , b₁ = 3 , c₁ = 12
दूसरा समीकरण : 18x + 6y + 24 = 0
⇒ a₂ = 18 , b₂ = 6 , c₂ = 24
a₁/a₂ = 9/18 = 1/2
b₁/b₂ = 3/6 = 1/2
c₁/c₂ = 12/24 = 1/2
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
रेखाएँ संपाती हैं (अपरिमित रूप से अनेक हल)
(iii)
पहला समीकरण : 6x − 3y + 10 = 0
⇒ a₁ = 6 , b₁ = −3 , c₁ = 10
दूसरा समीकरण : 2x − y + 9 = 0
⇒ a₂ = 2 , b₂ = −1 , c₂ = 9
a₁/a₂ = 6/2 = 3
b₁/b₂ = (−3)/(−1) = 3
c₁/c₂ = 10/9 ≠ 3
पहला समीकरण : 6x − 3y + 10 = 0
⇒ a₁ = 6 , b₁ = −3 , c₁ = 10
दूसरा समीकरण : 2x − y + 9 = 0
⇒ a₂ = 2 , b₂ = −1 , c₂ = 9
a₁/a₂ = 6/2 = 3
b₁/b₂ = (−3)/(−1) = 3
c₁/c₂ = 10/9 ≠ 3
रेखाएँ समांतर हैं (कोई हल नहीं)
प्रश्न 3.
अनुपातों a₁/a₂ , b₁/b₂ , c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत:
(i) 2x − 3y = 7 तथा 3x + 2y = 5
(ii) 2x − 3y = 8 तथा 4x − 6y = 9
(iii) (3/2)x + (5/3)y = 7 तथा 9x − 10y = 14
(iv) −10x + 6y = −22 तथा 5x − 3y = 11
अनुपातों a₁/a₂ , b₁/b₂ , c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत:
(i) 2x − 3y = 7 तथा 3x + 2y = 5
(ii) 2x − 3y = 8 तथा 4x − 6y = 9
(iii) (3/2)x + (5/3)y = 7 तथा 9x − 10y = 14
(iv) −10x + 6y = −22 तथा 5x − 3y = 11
(i)
2x − 3y = 7 ⇒ a₁=2 , b₁=−3 , c₁=7
3x + 2y = 5 ⇒ a₂=3 , b₂=2 , c₂=5
a₁/a₂ = 2/3
b₁/b₂ = −3/2
2/3 ≠ −3/2
रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेंगी
2x − 3y = 7 ⇒ a₁=2 , b₁=−3 , c₁=7
3x + 2y = 5 ⇒ a₂=3 , b₂=2 , c₂=5
a₁/a₂ = 2/3
b₁/b₂ = −3/2
2/3 ≠ −3/2
रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेंगी
(i) संगत (एक हल)
(ii)
2x − 3y = 8 ⇒ a₁=2 , b₁=−3 , c₁=8
4x − 6y = 9 ⇒ a₂=4 , b₂=−6 , c₂=9
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2
b₁/b₂ = −3/−6 = 1/2
c₁/c₂ = 8/9 ≠ 1/2
2x − 3y = 8 ⇒ a₁=2 , b₁=−3 , c₁=8
4x − 6y = 9 ⇒ a₂=4 , b₂=−6 , c₂=9
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2
b₁/b₂ = −3/−6 = 1/2
c₁/c₂ = 8/9 ≠ 1/2
(ii) असंगत (कोई हल नहीं)
(iii)
(3/2)x + (5/3)y = 7
दोनों तरफ 6 से गुणा करें
⇒ 9x + 10y = 42
दूसरा समीकरण: 9x − 10y = 14
a₁=9 , b₁=10
a₂=9 , b₂=−10
a₁/a₂ = 9/9 = 1
b₁/b₂ = 10/(−10) = −1
(3/2)x + (5/3)y = 7
दोनों तरफ 6 से गुणा करें
⇒ 9x + 10y = 42
दूसरा समीकरण: 9x − 10y = 14
a₁=9 , b₁=10
a₂=9 , b₂=−10
a₁/a₂ = 9/9 = 1
b₁/b₂ = 10/(−10) = −1
(iii) संगत (एक हल)
(iv)
−10x + 6y = −22
5x − 3y = 11
दूसरे को −2 से गुणा करें
⇒ −10x + 6y = −22
दोनों समीकरण समान
−10x + 6y = −22
5x − 3y = 11
दूसरे को −2 से गुणा करें
⇒ −10x + 6y = −22
दोनों समीकरण समान
(iv) संपाती (अनन्त हल)
प्रश्न 4.
निम्न युग्मों में से कौन-से संगत या असंगत हैं:
(i) x + y = 5 तथा 2x + 2y = 10
(ii) x − y = 8 तथा 3x − 3y = 16
(iii) 2x + y − 6 = 0 तथा 4x − 2y − 4 = 0
(iv) 2x − 2y − 2 = 0 तथा 4x − 4y = 5
निम्न युग्मों में से कौन-से संगत या असंगत हैं:
(i) x + y = 5 तथा 2x + 2y = 10
(ii) x − y = 8 तथा 3x − 3y = 16
(iii) 2x + y − 6 = 0 तथा 4x − 2y − 4 = 0
(iv) 2x − 2y − 2 = 0 तथा 4x − 4y = 5
(i) 2x+2y = 2(x+y) = 10 ⇒ संपाती
(ii) 3(x−y)=24 ≠16 ⇒ असंगत
(iii) अनुपात अलग ⇒ संगत
(iv) अनुपात बराबर लेकिन स्थिरांक अलग ⇒ असंगत
(ii) 3(x−y)=24 ≠16 ⇒ असंगत
(iii) अनुपात अलग ⇒ संगत
(iv) अनुपात बराबर लेकिन स्थिरांक अलग ⇒ असंगत
(i) संपाती (ii) असंगत (iii) संगत (iv) असंगत
प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग की लंबाई चौड़ाई से 4 m अधिक है तथा अर्द्धपरिमाप 36 m है।
एक आयताकार बाग की लंबाई चौड़ाई से 4 m अधिक है तथा अर्द्धपरिमाप 36 m है।
मान लें चौड़ाई = x
लंबाई = x + 4
अर्द्धपरिमाप = 36
⇒ x + (x+4) = 36
⇒ 2x + 4 = 36
⇒ 2x = 32
⇒ x = 16
लंबाई = 16 + 4 = 20
लंबाई = x + 4
अर्द्धपरिमाप = 36
⇒ x + (x+4) = 36
⇒ 2x + 4 = 36
⇒ 2x = 32
⇒ x = 16
लंबाई = 16 + 4 = 20
चौड़ाई = 16 m , लंबाई = 20 m
प्रश्न 6.
2x + 3y − 8 = 0 के लिए रेखाएँ लिखिए: (i) प्रतिच्छेद करती (ii) समांतर (iii) संपाती
2x + 3y − 8 = 0 के लिए रेखाएँ लिखिए: (i) प्रतिच्छेद करती (ii) समांतर (iii) संपाती
(i) 3x + 2y − 7 = 0
(ii) 2x + 3y − 12 = 0
(iii) 4x + 6y − 16 = 0
(ii) 2x + 3y − 12 = 0
(iii) 4x + 6y − 16 = 0
तीनों स्थितियाँ संतुष्ट
प्रश्न 7.
x + y = 2 तथा 2x − y = 1 के हल से गुजरने वाली रेखा ज्ञात करें।
x + y = 2 तथा 2x − y = 1 के हल से गुजरने वाली रेखा ज्ञात करें।
x + y = 2 ...(1)
2x − y = 1 ...(2)
(1)+(2)
3x = 3
x = 1
y = 1
बिंदु = (1,1)
रेखा: y − 1 = m(x − 1)
2x − y = 1 ...(2)
(1)+(2)
3x = 3
x = 1
y = 1
बिंदु = (1,1)
रेखा: y − 1 = m(x − 1)
अनन्त रेखाएँ संभव
प्रश्न 8.
निम्नलिखित समीकरण निकार्यों में से प्रत्येक निकाय के बारे में बताएँ कि किसका अद्वितीय हल है, किसका कोई भी हल नहीं है अथवा किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं:
(1) 2x + 3y = 7 , 6x + 5y = 11
(2) 4x + 7y = 10 , 10x + 35/2 * y = 25
(3) 6x + 5y = 11 , 9x + 15/2 * y = 21
(4) 7x − 2y = 3 , 11x − 3/2*y = 8
निम्नलिखित समीकरण निकार्यों में से प्रत्येक निकाय के बारे में बताएँ कि किसका अद्वितीय हल है, किसका कोई भी हल नहीं है अथवा किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं:
(1) 2x + 3y = 7 , 6x + 5y = 11
(2) 4x + 7y = 10 , 10x + 35/2 * y = 25
(3) 6x + 5y = 11 , 9x + 15/2 * y = 21
(4) 7x − 2y = 3 , 11x − 3/2*y = 8
(1)
2x + 3y = 7 ⇒ a₁ = 2 , b₁ = 3 , c₁ = 7
6x + 5y = 11 ⇒ a₂ = 6 , b₂ = 5 , c₂ = 11
a₁/a₂ = 2/6 = 1/3
b₁/b₂ = 3/5
1/3 ≠ 3/5
2x + 3y = 7 ⇒ a₁ = 2 , b₁ = 3 , c₁ = 7
6x + 5y = 11 ⇒ a₂ = 6 , b₂ = 5 , c₂ = 11
a₁/a₂ = 2/6 = 1/3
b₁/b₂ = 3/5
1/3 ≠ 3/5
(1) अद्वितीय हल है
(2)
4x + 7y = 10 ⇒ a₁ = 4 , b₁ = 7 , c₁ = 10
10x + (35/2)y = 25 ⇒ a₂ = 10 , b₂ = 35/2 , c₂ = 25
a₁/a₂ = 4/10 = 2/5
b₁/b₂ = 7 ÷ (35/2)
= 7 × 2 / 35
= 14 / 35
= 2 / 5
c₁/c₂ = 10/25 = 2/5
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
4x + 7y = 10 ⇒ a₁ = 4 , b₁ = 7 , c₁ = 10
10x + (35/2)y = 25 ⇒ a₂ = 10 , b₂ = 35/2 , c₂ = 25
a₁/a₂ = 4/10 = 2/5
b₁/b₂ = 7 ÷ (35/2)
= 7 × 2 / 35
= 14 / 35
= 2 / 5
c₁/c₂ = 10/25 = 2/5
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
(2) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(3)
6x + 5y = 11 ⇒ a₁ = 6 , b₁ = 5 , c₁ = 11
9x + (15/2)y = 21 ⇒ a₂ = 9 , b₂ = 15/2 , c₂ = 21
a₁/a₂ = 6/9 = 2/3
b₁/b₂ = 5 ÷ (15/2)
= 5 × 2 / 15
= 10 / 15
= 2 / 3
c₁/c₂ = 11/21 ≠ 2/3
6x + 5y = 11 ⇒ a₁ = 6 , b₁ = 5 , c₁ = 11
9x + (15/2)y = 21 ⇒ a₂ = 9 , b₂ = 15/2 , c₂ = 21
a₁/a₂ = 6/9 = 2/3
b₁/b₂ = 5 ÷ (15/2)
= 5 × 2 / 15
= 10 / 15
= 2 / 3
c₁/c₂ = 11/21 ≠ 2/3
(3) कोई हल नहीं है
(4)
7x − 2y = 3 ⇒ a₁ = 7 , b₁ = −2 , c₁ = 3
11x − (3/2)y = 8 ⇒ a₂ = 11 , b₂ = −3/2 , c₂ = 8
a₁/a₂ = 7/11
b₁/b₂ = (−2) ÷ (−3/2)
= −2 × (−2/3)
= 4/3
7/11 ≠ 4/3
7x − 2y = 3 ⇒ a₁ = 7 , b₁ = −2 , c₁ = 3
11x − (3/2)y = 8 ⇒ a₂ = 11 , b₂ = −3/2 , c₂ = 8
a₁/a₂ = 7/11
b₁/b₂ = (−2) ÷ (−3/2)
= −2 × (−2/3)
= 4/3
7/11 ≠ 4/3
(4) अद्वितीय हल है
प्रश्न 9.
a₁/a₂ , b₁/b₂ , c₁/c₂ की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं:
(i) 3x − 5y + 8 = 0 , 7x + 6y − 9 = 0
(ii) 4x + 3y − 7 = 0 , 12x + 9y = 21
(iii) x − 2y + 5 = 0 , 8y − 4x + 20 = 0
a₁/a₂ , b₁/b₂ , c₁/c₂ की तुलना करके ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं:
(i) 3x − 5y + 8 = 0 , 7x + 6y − 9 = 0
(ii) 4x + 3y − 7 = 0 , 12x + 9y = 21
(iii) x − 2y + 5 = 0 , 8y − 4x + 20 = 0
(i)
3x − 5y + 8 = 0 ⇒ a₁ = 3 , b₁ = −5 , c₁ = 8
7x + 6y − 9 = 0 ⇒ a₂ = 7 , b₂ = 6 , c₂ = −9
a₁/a₂ = 3/7
b₁/b₂ = −5/6
3/7 ≠ −5/6
3x − 5y + 8 = 0 ⇒ a₁ = 3 , b₁ = −5 , c₁ = 8
7x + 6y − 9 = 0 ⇒ a₂ = 7 , b₂ = 6 , c₂ = −9
a₁/a₂ = 3/7
b₁/b₂ = −5/6
3/7 ≠ −5/6
(i) रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं
(ii)
4x + 3y − 7 = 0 ⇒ a₁ = 4 , b₁ = 3 , c₁ = −7
12x + 9y = 21 ⇒ 12x + 9y − 21 = 0 ⇒ a₂ = 12 , b₂ = 9 , c₂ = −21
a₁/a₂ = 4/12 = 1/3
b₁/b₂ = 3/9 = 1/3
c₁/c₂ = −7/−21 = 1/3
4x + 3y − 7 = 0 ⇒ a₁ = 4 , b₁ = 3 , c₁ = −7
12x + 9y = 21 ⇒ 12x + 9y − 21 = 0 ⇒ a₂ = 12 , b₂ = 9 , c₂ = −21
a₁/a₂ = 4/12 = 1/3
b₁/b₂ = 3/9 = 1/3
c₁/c₂ = −7/−21 = 1/3
(ii) रेखाएँ संपाती हैं (अपरिमित हल)
(iii)
x − 2y + 5 = 0 ⇒ a₁ = 1 , b₁ = −2 , c₁ = 5
8y − 4x + 20 = 0 ⇒ −4x + 8y + 20 = 0 ⇒ a₂ = −4 , b₂ = 8 , c₂ = 20
a₁/a₂ = 1/(−4) = −1/4
b₁/b₂ = −2/8 = −1/4
c₁/c₂ = 5/20 = 1/4
x − 2y + 5 = 0 ⇒ a₁ = 1 , b₁ = −2 , c₁ = 5
8y − 4x + 20 = 0 ⇒ −4x + 8y + 20 = 0 ⇒ a₂ = −4 , b₂ = 8 , c₂ = 20
a₁/a₂ = 1/(−4) = −1/4
b₁/b₂ = −2/8 = −1/4
c₁/c₂ = 5/20 = 1/4
(iii) रेखाएँ समांतर हैं (कोई हल नहीं)
प्रश्न 10.
क्या रैखिक समीकरण युग्म 4x − 5y − 12 = 0 तथा 10y + 20 = 8x संगत है या असंगत?
क्या रैखिक समीकरण युग्म 4x − 5y − 12 = 0 तथा 10y + 20 = 8x संगत है या असंगत?
4x − 5y − 12 = 0 ⇒ a₁ = 4 , b₁ = −5 , c₁ = −12
10y + 20 = 8x ⇒ 8x − 10y − 20 = 0 ⇒ a₂ = 8 , b₂ = −10 , c₂ = −20
a₁/a₂ = 4/8 = 1/2
b₁/b₂ = −5/−10 = 1/2
c₁/c₂ = −12/−20 = 3/5
10y + 20 = 8x ⇒ 8x − 10y − 20 = 0 ⇒ a₂ = 8 , b₂ = −10 , c₂ = −20
a₁/a₂ = 4/8 = 1/2
b₁/b₂ = −5/−10 = 1/2
c₁/c₂ = −12/−20 = 3/5
समीकरण असंगत हैं (कोई हल नहीं)
प्रश्न 11.
रेखाएँ 2x + ky = 1 और 3x − 5y = 7 के अद्वितीय हल हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
रेखाएँ 2x + ky = 1 और 3x − 5y = 7 के अद्वितीय हल हैं, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
2x + ky = 1 ⇒ a₁ = 2 , b₁ = k , c₁ = 1
3x − 5y = 7 ⇒ a₂ = 3 , b₂ = −5 , c₂ = 7
अद्वितीय हल की शर्त:
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
2/3 ≠ k/(−5)
3x − 5y = 7 ⇒ a₂ = 3 , b₂ = −5 , c₂ = 7
अद्वितीय हल की शर्त:
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂
2/3 ≠ k/(−5)
k ≠ −10/3
प्रश्न 12.
यदि समीकरणों के निकाय kx − 5y = 2 तथा 6x + 2y = 7 का कोई हल नहीं है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
यदि समीकरणों के निकाय kx − 5y = 2 तथा 6x + 2y = 7 का कोई हल नहीं है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
kx − 5y = 2 ⇒ a₁ = k , b₁ = −5 , c₁ = 2
6x + 2y = 7 ⇒ a₂ = 6 , b₂ = 2 , c₂ = 7
कोई हल नहीं की शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
k/6 = −5/2
k = 6 × (−5/2)
k = −15
6x + 2y = 7 ⇒ a₂ = 6 , b₂ = 2 , c₂ = 7
कोई हल नहीं की शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
k/6 = −5/2
k = 6 × (−5/2)
k = −15
k = −15
प्रश्न 13.
k के किस मान के लिए निम्न रैखिक समीकरण युग्म का अनंत हल होगा – 2x + 3y = 4 तथा (k + 2)x + 6y = 2k + 4
k के किस मान के लिए निम्न रैखिक समीकरण युग्म का अनंत हल होगा – 2x + 3y = 4 तथा (k + 2)x + 6y = 2k + 4
2x + 3y = 4 ⇒ a₁ = 2 , b₁ = 3 , c₁ = 4
(k + 2)x + 6y = 2k + 4 ⇒ a₂ = k + 2 , b₂ = 6 , c₂ = 2k + 4
अनंत हल की शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
2/(k + 2) = 3/6 = 4/(2k + 4)
3/6 = 1/2
2/(k + 2) = 1/2 ⇒ k + 2 = 4 ⇒ k = 2
4/(2k + 4) = 1/2 ⇒ 2k + 4 = 8 ⇒ k = 2
(k + 2)x + 6y = 2k + 4 ⇒ a₂ = k + 2 , b₂ = 6 , c₂ = 2k + 4
अनंत हल की शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
2/(k + 2) = 3/6 = 4/(2k + 4)
3/6 = 1/2
2/(k + 2) = 1/2 ⇒ k + 2 = 4 ⇒ k = 2
4/(2k + 4) = 1/2 ⇒ 2k + 4 = 8 ⇒ k = 2
k = 2
प्रश्न 14.
p के किस मान के लिए निम्न रैखिक समीकरण युग्म समांतर रेखाओं को निरूपित करेगा – x + py − 1 = 0 तथा px − y − 1 = 0
p के किस मान के लिए निम्न रैखिक समीकरण युग्म समांतर रेखाओं को निरूपित करेगा – x + py − 1 = 0 तथा px − y − 1 = 0
x + py − 1 = 0 ⇒ a₁ = 1 , b₁ = p , c₁ = −1
px − y − 1 = 0 ⇒ a₂ = p , b₂ = −1 , c₂ = −1
समांतर रेखा की शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
1/p = p/(−1)
1/p = −p
p² = −1
p = ±1
px − y − 1 = 0 ⇒ a₂ = p , b₂ = −1 , c₂ = −1
समांतर रेखा की शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
1/p = p/(−1)
1/p = −p
p² = −1
p = ±1
p = ±1
प्रश्न 15.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है अथवा किसके अपरिमित हल हैं:
(i) x − 3y − 3 = 0 तथा 3x − 9y − 2 = 0
(ii) 3x + 2y = 8 तथा 2x + y = 5
(iii) 3x − 5y = 20 तथा 6x − 10y = 40
(iv) x − 3y − 7 = 0 तथा 3x − 3y − 15 = 0
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है अथवा किसके अपरिमित हल हैं:
(i) x − 3y − 3 = 0 तथा 3x − 9y − 2 = 0
(ii) 3x + 2y = 8 तथा 2x + y = 5
(iii) 3x − 5y = 20 तथा 6x − 10y = 40
(iv) x − 3y − 7 = 0 तथा 3x − 3y − 15 = 0
(i) x − 3y − 3 = 0 ⇒ a₁ = 1 , b₁ = −3 , c₁ = −3
3x − 9y − 2 = 0 ⇒ a₂ = 3 , b₂ = −9 , c₂ = −2
a₁/a₂ = 1/3 , b₁/b₂ = (−3)/(−9)=1/3 , c₁/c₂ = (−3)/(−2) ≠ 1/3
3x − 9y − 2 = 0 ⇒ a₂ = 3 , b₂ = −9 , c₂ = −2
a₁/a₂ = 1/3 , b₁/b₂ = (−3)/(−9)=1/3 , c₁/c₂ = (−3)/(−2) ≠ 1/3
(i) कोई हल नहीं
(ii) 3x + 2y = 8 , 2x + y = 5
3(2x + y) = 15 ⇒ 6x + 3y = 15
(6x + 3y) − (3x + 2y) = 15 − 8 ⇒ 3x + y = 7
2x + y = 5 ⇒ घटाने पर x = 2 ⇒ y = 1
3(2x + y) = 15 ⇒ 6x + 3y = 15
(6x + 3y) − (3x + 2y) = 15 − 8 ⇒ 3x + y = 7
2x + y = 5 ⇒ घटाने पर x = 2 ⇒ y = 1
(ii) अद्वितीय हल: x = 2 , y = 1
(iii) 3x − 5y = 20 , 6x − 10y = 40
a₁/a₂ = 3/6 = 1/2 , b₁/b₂ = −5/−10 = 1/2 , c₁/c₂ = 20/40 = 1/2
a₁/a₂ = 3/6 = 1/2 , b₁/b₂ = −5/−10 = 1/2 , c₁/c₂ = 20/40 = 1/2
(iii) अपरिमित हल
(iv) x − 3y − 7 = 0 , 3x − 3y − 15 = 0
a₁/a₂ = 1/3 , b₁/b₂ = −3/−3 = 1 , अनुपात बराबर नहीं
a₁/a₂ = 1/3 , b₁/b₂ = −3/−3 = 1 , अनुपात बराबर नहीं
(iv) अद्वितीय हल
प्रश्न 16 (i).
a और b के किन मानों के लिए, निम्न समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a − b)x + (a + b)y = 3a + b − 2
a और b के किन मानों के लिए, निम्न समीकरण युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a − b)x + (a + b)y = 3a + b − 2
पहला समीकरण : 2x + 3y = 7
a₁ = 2 , b₁ = 3 , c₁ = 7
दूसरा समीकरण : (a − b)x + (a + b)y = 3a + b − 2
a₂ = a − b , b₂ = a + b , c₂ = 3a + b − 2
अपरिमित हल के लिए शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
⇒ 2/(a − b) = 3/(a + b) = 7/(3a + b − 2)
पहले दो अनुपात बराबर करते हैं:
2/(a − b) = 3/(a + b)
Cross multiplication:
2(a + b) = 3(a − b)
2a + 2b = 3a − 3b
2a + 2b − 3a + 3b = 0
−a + 5b = 0
a = 5b
अब 2/(a − b) = 7/(3a + b − 2)
2(3a + b − 2) = 7(a − b)
6a + 2b − 4 = 7a − 7b
6a + 2b − 4 − 7a + 7b = 0
−a + 9b − 4 = 0
a = 9b − 4
a = 5b और a = 9b − 4
⇒ 5b = 9b − 4
5b − 9b = −4
−4b = −4
b = 1
a = 5b = 5 × 1 = 5
a₁ = 2 , b₁ = 3 , c₁ = 7
दूसरा समीकरण : (a − b)x + (a + b)y = 3a + b − 2
a₂ = a − b , b₂ = a + b , c₂ = 3a + b − 2
अपरिमित हल के लिए शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
⇒ 2/(a − b) = 3/(a + b) = 7/(3a + b − 2)
पहले दो अनुपात बराबर करते हैं:
2/(a − b) = 3/(a + b)
Cross multiplication:
2(a + b) = 3(a − b)
2a + 2b = 3a − 3b
2a + 2b − 3a + 3b = 0
−a + 5b = 0
a = 5b
अब 2/(a − b) = 7/(3a + b − 2)
2(3a + b − 2) = 7(a − b)
6a + 2b − 4 = 7a − 7b
6a + 2b − 4 − 7a + 7b = 0
−a + 9b − 4 = 0
a = 9b − 4
a = 5b और a = 9b − 4
⇒ 5b = 9b − 4
5b − 9b = −4
−4b = −4
b = 1
a = 5b = 5 × 1 = 5
a = 5 तथा b = 1
प्रश्न 16 (ii).
के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k − 1)x + (k − 1)y = 2k + 1
के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k − 1)x + (k − 1)y = 2k + 1
पहला समीकरण : 3x + y = 1
a₁ = 3 , b₁ = 1 , c₁ = 1
दूसरा समीकरण : (2k − 1)x + (k − 1)y = 2k + 1
a₂ = 2k − 1 , b₂ = k − 1 , c₂ = 2k + 1
कोई हल नहीं के लिए शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
⇒ 3/(2k − 1) = 1/(k − 1)
Cross multiplication:
3(k − 1) = 2k − 1
3k − 3 = 2k − 1
3k − 2k = −1 + 3
k = 2
अब c₁/c₂ = 1/(2k + 1) = 1/(2×2 + 1) = 1/5
और a₁/a₂ = 3/(2×2 − 1) = 3/3 = 1
1 ≠ 1/5 ⇒ शर्त सत्य
a₁ = 3 , b₁ = 1 , c₁ = 1
दूसरा समीकरण : (2k − 1)x + (k − 1)y = 2k + 1
a₂ = 2k − 1 , b₂ = k − 1 , c₂ = 2k + 1
कोई हल नहीं के लिए शर्त:
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
⇒ 3/(2k − 1) = 1/(k − 1)
Cross multiplication:
3(k − 1) = 2k − 1
3k − 3 = 2k − 1
3k − 2k = −1 + 3
k = 2
अब c₁/c₂ = 1/(2k + 1) = 1/(2×2 + 1) = 1/5
और a₁/a₂ = 3/(2×2 − 1) = 3/3 = 1
1 ≠ 1/5 ⇒ शर्त सत्य
k = 2
प्रश्न 17.
वज्र-गुणन विधि से हल कीजिए:
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
वज्र-गुणन विधि से हल कीजिए:
8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
समीकरण (1): 8x + 5y = 9
समीकरण (2): 3x + 2y = 4
(1) को 2 से गुणा:
16x + 10y = 18
(2) को 5 से गुणा:
15x + 10y = 20
घटाएँ:
(16x + 10y) − (15x + 10y) = 18 − 20
x = −2
x = −2 को (2) में रखें:
3(−2) + 2y = 4
−6 + 2y = 4
2y = 10
y = 5
समीकरण (2): 3x + 2y = 4
(1) को 2 से गुणा:
16x + 10y = 18
(2) को 5 से गुणा:
15x + 10y = 20
घटाएँ:
(16x + 10y) − (15x + 10y) = 18 − 20
x = −2
x = −2 को (2) में रखें:
3(−2) + 2y = 4
−6 + 2y = 4
2y = 10
y = 5
x = −2 , y = 5
Exercise – 3.2
प्रश्न 1.
अनुपातों a₁/a₂ , b₁/b₂ , c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत:
(i) x + y = 14 , x − y = 2
(ii) s − t = 3 , s/3 + t/2 = 6
(iii) 3x − y = 3 , 9x − 3y = 9
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3 , 0.4x + 0.5y = 2.3
(v)√2 x + √3 y = 0 , √3 x − √8 y = 0
अनुपातों a₁/a₂ , b₁/b₂ , c₁/c₂ की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत:
(i) x + y = 14 , x − y = 2
(ii) s − t = 3 , s/3 + t/2 = 6
(iii) 3x − y = 3 , 9x − 3y = 9
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3 , 0.4x + 0.5y = 2.3
(v)√2 x + √3 y = 0 , √3 x − √8 y = 0
(i)
समीकरण (1): x + y = 14
⇒ y = 14 − x …(A)
समीकरण (2): x − y = 2
(A) का मान रखें:
x − (14 − x) = 2
x − 14 + x = 2
2x = 16
x = 8
y = 14 − 8 = 6
समीकरण (1): x + y = 14
⇒ y = 14 − x …(A)
समीकरण (2): x − y = 2
(A) का मान रखें:
x − (14 − x) = 2
x − 14 + x = 2
2x = 16
x = 8
y = 14 − 8 = 6
x = 8 , y = 6
(ii)
समीकरण (1): s − t = 3
⇒ s = t + 3 …(A)
समीकरण (2): s/3 + t/2 = 6
(A) रखें:
(t + 3)/3 + t/2 = 6
LCM = 6
2(t + 3) + 3t = 36
2t + 6 + 3t = 36
5t = 30
t = 6
s = 6 + 3 = 9
समीकरण (1): s − t = 3
⇒ s = t + 3 …(A)
समीकरण (2): s/3 + t/2 = 6
(A) रखें:
(t + 3)/3 + t/2 = 6
LCM = 6
2(t + 3) + 3t = 36
2t + 6 + 3t = 36
5t = 30
t = 6
s = 6 + 3 = 9
s = 9 , t = 6
(iii)
पहला समीकरण × 3:
9x − 3y = 9
जो दूसरे के समान है ⇒ दोनों संपाती हैं
पहला समीकरण × 3:
9x − 3y = 9
जो दूसरे के समान है ⇒ दोनों संपाती हैं
अपरिमित हल (Infinite solutions)
(iv)
पहले को 10 से गुणा:
2x + 3y = 13 …(1)
दूसरे को 10 से गुणा:
4x + 5y = 23 …(2)
(1) से y निकालें:
3y = 13 − 2x
y = (13 − 2x)/3 …(A)
(2) में रखें:
4x + 5(13 − 2x)/3 = 23
12x + 65 − 10x = 69
2x = 4
x = 2
y = (13 − 4)/3 = 3
पहले को 10 से गुणा:
2x + 3y = 13 …(1)
दूसरे को 10 से गुणा:
4x + 5y = 23 …(2)
(1) से y निकालें:
3y = 13 − 2x
y = (13 − 2x)/3 …(A)
(2) में रखें:
4x + 5(13 − 2x)/3 = 23
12x + 65 − 10x = 69
2x = 4
x = 2
y = (13 − 4)/3 = 3
x = 2 , y = 3
(vi)
पहले से:
√2 x = −√3 y
x = −(√3/√2)y …(A)
दूसरे में रखें:
√3(−√3/√2 y) − √8 y = 0
−3/√2 y − 2√2 y = 0
y(−3/√2 − 2√2) = 0
y = 0 ⇒ x = 0
पहले से:
√2 x = −√3 y
x = −(√3/√2)y …(A)
दूसरे में रखें:
√3(−√3/√2 y) − √8 y = 0
−3/√2 y − 2√2 y = 0
y(−3/√2 − 2√2) = 0
y = 0 ⇒ x = 0
x = 0 , y = 0
प्रश्न 2.
2x + 3y = 11 , 2x − 4y = −24 तथा y = mx + 3
2x + 3y = 11 , 2x − 4y = −24 तथा y = mx + 3
पहले से:
2x = 11 − 3y …(1)
दूसरे से:
2x = −24 + 4y …(2)
(1) = (2):
11 − 3y = −24 + 4y
7y = 35
y = 5
x = (11 − 15)/2 = −2
5 = m(−2) + 3
m = −1
2x = 11 − 3y …(1)
दूसरे से:
2x = −24 + 4y …(2)
(1) = (2):
11 − 3y = −24 + 4y
7y = 35
y = 5
x = (11 − 15)/2 = −2
5 = m(−2) + 3
m = −1
m = −1
प्रश्न 3 (i).
दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
मान लें पहली संख्या = x
दूसरी संख्या = y
दिया गया है :
x − y = 26 ...(1)
x = 3y ...(2)
(2) को (1) में रखें :
3y − y = 26
2y = 26
y = 13
अब (2) से :
x = 3 × 13
x = 39
दूसरी संख्या = y
दिया गया है :
x − y = 26 ...(1)
x = 3y ...(2)
(2) को (1) में रखें :
3y − y = 26
2y = 26
y = 13
अब (2) से :
x = 3 × 13
x = 39
दोनों संख्याएँ = 39 और 13
प्रश्न 3 (ii).
दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।
मान लें छोटा कोण = x
तो बड़ा कोण = x + 18
क्योंकि कोण संपूरक हैं :
x + (x + 18) = 90
2x + 18 = 90
2x = 72
x = 36
बड़ा कोण = 36 + 18 = 54
तो बड़ा कोण = x + 18
क्योंकि कोण संपूरक हैं :
x + (x + 18) = 90
2x + 18 = 90
2x = 72
x = 36
बड़ा कोण = 36 + 18 = 54
छोटा कोण = 36° , बड़ा कोण = 54°
प्रश्न 3 (iii).
एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें ₹ 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें ₹ 1750 में खरीदीं। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।
मान लें एक बल्ले का मूल्य = x रुपये
एक गेंद का मूल्य = y रुपये
पहली खरीद से :
7x + 6y = 3800 ...(1)
दूसरी खरीद से :
3x + 5y = 1750 ...(2)
(2) से x निकालें :
3x = 1750 − 5y
x = (1750 − 5y) / 3 ...(A)
(A) को (1) में रखें :
7(1750 − 5y)/3 + 6y = 3800
(12250 − 35y)/3 + 6y = 3800
12250 − 35y + 18y = 11400
12250 − 17y = 11400
17y = 850
y = 50
अब (A) में रखें :
x = (1750 − 5×50)/3
x = (1750 − 250)/3
x = 1500/3
x = 500
एक गेंद का मूल्य = y रुपये
पहली खरीद से :
7x + 6y = 3800 ...(1)
दूसरी खरीद से :
3x + 5y = 1750 ...(2)
(2) से x निकालें :
3x = 1750 − 5y
x = (1750 − 5y) / 3 ...(A)
(A) को (1) में रखें :
7(1750 − 5y)/3 + 6y = 3800
(12250 − 35y)/3 + 6y = 3800
12250 − 35y + 18y = 11400
12250 − 17y = 11400
17y = 850
y = 50
अब (A) में रखें :
x = (1750 − 5×50)/3
x = (1750 − 250)/3
x = 1500/3
x = 500
एक बल्ला = ₹500 , एक गेंद = ₹50
प्रश्न 3 (iv)
एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 km दूरी के लिए भाड़ा ₹105 है तथा 15 km के लिए भाड़ा ₹155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति km भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 km यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?
मान लें नियत भाड़ा = x रुपये
प्रति km भाड़ा = y रुपये
10 km के लिए :
x + 10y = 105 ...(1)
15 km के लिए :
x + 15y = 155 ...(2)
(2) − (1):
(x + 15y) − (x + 10y) = 155 − 105
5y = 50
y = 10
(1) में रखें :
x + 10(10) = 105
x + 100 = 105
x = 5
25 km के लिए भाड़ा :
x + 25y = 5 + 25×10 = 255
प्रति km भाड़ा = y रुपये
10 km के लिए :
x + 10y = 105 ...(1)
15 km के लिए :
x + 15y = 155 ...(2)
(2) − (1):
(x + 15y) − (x + 10y) = 155 − 105
5y = 50
y = 10
(1) में रखें :
x + 10(10) = 105
x + 100 = 105
x = 5
25 km के लिए भाड़ा :
x + 25y = 5 + 25×10 = 255
नियत भाड़ा = ₹5 , प्रति km भाड़ा = ₹10
25 km का भाड़ा = ₹255
25 km का भाड़ा = ₹255
प्रश्न 3 (v)
यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
मान लें भिन्न = x/y
(x + 2)/(y + 2) = 9/11 ...(1)
(x + 3)/(y + 3) = 5/6 ...(2)
(1) से :
11(x + 2) = 9(y + 2)
11x + 22 = 9y + 18
11x − 9y = −4 ...(A)
(2) से :
6(x + 3) = 5(y + 3)
6x + 18 = 5y + 15
6x − 5y = −3 ...(B)
(A) और (B) हल करें :
11x − 9y = −4
6x − 5y = −3
(A)×5: 55x − 45y = −20
(B)×9: 54x − 45y = −27
घटाएँ :
x = 7
(B) में रखें :
6×7 − 5y = −3
42 − 5y = −3
5y = 45
y = 9
(x + 2)/(y + 2) = 9/11 ...(1)
(x + 3)/(y + 3) = 5/6 ...(2)
(1) से :
11(x + 2) = 9(y + 2)
11x + 22 = 9y + 18
11x − 9y = −4 ...(A)
(2) से :
6(x + 3) = 5(y + 3)
6x + 18 = 5y + 15
6x − 5y = −3 ...(B)
(A) और (B) हल करें :
11x − 9y = −4
6x − 5y = −3
(A)×5: 55x − 45y = −20
(B)×9: 54x − 45y = −27
घटाएँ :
x = 7
(B) में रखें :
6×7 − 5y = −3
42 − 5y = −3
5y = 45
y = 9
भिन्न = 7/9
प्रश्न 3 (vi)
पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
मान लें जैकब की वर्तमान आयु = x वर्ष
पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष
पाँच वर्ष बाद :
x + 5 = 3(y + 5) ...(1)
पाँच वर्ष पहले :
x − 5 = 7(y − 5) ...(2)
(1) से :
x + 5 = 3y + 15
x = 3y + 10 ...(A)
(2) में (A) रखें :
3y + 10 − 5 = 7y − 35
3y + 5 = 7y − 35
40 = 4y
y = 10
x = 3(10) + 10 = 40
पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष
पाँच वर्ष बाद :
x + 5 = 3(y + 5) ...(1)
पाँच वर्ष पहले :
x − 5 = 7(y − 5) ...(2)
(1) से :
x + 5 = 3y + 15
x = 3y + 10 ...(A)
(2) में (A) रखें :
3y + 10 − 5 = 7y − 35
3y + 5 = 7y − 35
40 = 4y
y = 10
x = 3(10) + 10 = 40
जैकब = 40 वर्ष, पुत्र = 10 वर्ष
प्रश्न 4.
x + 8y = 19 तथा 2x + 11y = 28 को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल कीजिए।
x + 8y = 19 तथा 2x + 11y = 28 को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल कीजिए।
हल
x = 19 − 8y ...(1)
(1) को दूसरे में रखें :
2(19 − 8y) + 11y = 28
38 − 16y + 11y = 28
38 − 5y = 28
5y = 10
y = 2
x = 19 − 8×2 = 3
x = 19 − 8y ...(1)
(1) को दूसरे में रखें :
2(19 − 8y) + 11y = 28
38 − 16y + 11y = 28
38 − 5y = 28
5y = 10
y = 2
x = 19 − 8×2 = 3
x = 3 , y = 2
प्रश्न 5.
निम्न रैखिक समीकरण निकाय को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल कीजिए।
(i) x + 8y = 19 तथा 2x + 11y = 28
(ii) x + 2y − 3 = 0 तथा 3x − 2y + 7 = 0
निम्न रैखिक समीकरण निकाय को प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल कीजिए।
(i) x + 8y = 19 तथा 2x + 11y = 28
(ii) x + 2y − 3 = 0 तथा 3x − 2y + 7 = 0
(i)
दूसरे समीकरण से :
x − y = −1
x = y − 1 ...(1)
(1) को पहले में रखें :
3(y − 1) − 7y = 1
3y − 3 − 7y = 1
−4y − 3 = 1
−4y = 4
y = −1
x = y − 1 = −1 − 1 = −2
दूसरे समीकरण से :
x − y = −1
x = y − 1 ...(1)
(1) को पहले में रखें :
3(y − 1) − 7y = 1
3y − 3 − 7y = 1
−4y − 3 = 1
−4y = 4
y = −1
x = y − 1 = −1 − 1 = −2
x = −2 , y = −1
(ii)
पहला समीकरण :
x + 2y = 3
x = 3 − 2y ...(1)
(1) को दूसरे में रखें :
3(3 − 2y) − 2y + 7 = 0
9 − 6y − 2y + 7 = 0
16 − 8y = 0
8y = 16
y = 2
x = 3 − 2×2 = −1
पहला समीकरण :
x + 2y = 3
x = 3 − 2y ...(1)
(1) को दूसरे में रखें :
3(3 − 2y) − 2y + 7 = 0
9 − 6y − 2y + 7 = 0
16 − 8y = 0
8y = 16
y = 2
x = 3 − 2×2 = −1
x = −1 , y = 2
प्रश्न 6.
ax + by − a + b = 0 तथा bx − ay − a − b = 0
ax + by − a + b = 0 तथा bx − ay − a − b = 0
पहला समीकरण :
ax + by = a − b ...(1)
दूसरा समीकरण :
bx − ay = a + b ...(2)
(1) को a से गुणा :
a²x + aby = a(a − b) = a² − ab ...(3)
(2) को b से गुणा :
b²x − aby = b(a + b) = ab + b² ...(4)
(3) + (4) :
(a² + b²)x = a² + b²
x = 1
(1) में रखें :
a(1) + b y = a − b
b y = −b
y = −1
ax + by = a − b ...(1)
दूसरा समीकरण :
bx − ay = a + b ...(2)
(1) को a से गुणा :
a²x + aby = a(a − b) = a² − ab ...(3)
(2) को b से गुणा :
b²x − aby = b(a + b) = ab + b² ...(4)
(3) + (4) :
(a² + b²)x = a² + b²
x = 1
(1) में रखें :
a(1) + b y = a − b
b y = −b
y = −1
x = 1 , y = −1
Exercise – 3.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 तथा 2x − 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 तथा 2x − 2y = 2
(iii) 3x − 5y − 4 = 0 तथा 9x = 2y + 7
(iv) x − y/3 = 3 तथा x/2 + (2y)/3 = −1
निम्नलिखित समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 तथा 2x − 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 तथा 2x − 2y = 2
(iii) 3x − 5y − 4 = 0 तथा 9x = 2y + 7
(iv) x − y/3 = 3 तथा x/2 + (2y)/3 = −1
(i)
x + y = 5 ...(1)
2x − 3y = 4 ...(2)
(1) से :
y = 5 − x ...(A)
(A) को (2) में रखें :
2x − 3(5 − x) = 4
2x − 15 + 3x = 4
5x = 19
x = 19/5
y = 5 − 19/5 = 25/5 − 19/5 = 6/5
x + y = 5 ...(1)
2x − 3y = 4 ...(2)
(1) से :
y = 5 − x ...(A)
(A) को (2) में रखें :
2x − 3(5 − x) = 4
2x − 15 + 3x = 4
5x = 19
x = 19/5
y = 5 − 19/5 = 25/5 − 19/5 = 6/5
x = 19/5 , y = 6/5
(ii)
3x + 4y = 10 ...(1)
2x − 2y = 2 ...(2)
(2) को 2 से भाग दें :
x − y = 1 ...(3)
(3) से :
x = y + 1 ...(A)
(A) को (1) में रखें :
3(y + 1) + 4y = 10
3y + 3 + 4y = 10
7y = 7
y = 1
x = 1 + 1 = 2
3x + 4y = 10 ...(1)
2x − 2y = 2 ...(2)
(2) को 2 से भाग दें :
x − y = 1 ...(3)
(3) से :
x = y + 1 ...(A)
(A) को (1) में रखें :
3(y + 1) + 4y = 10
3y + 3 + 4y = 10
7y = 7
y = 1
x = 1 + 1 = 2
x = 2 , y = 1
(iii)
3x − 5y = 4 ...(1)
9x = 2y + 7 ⇒ 9x − 2y = 7 ...(2)
(1) को 3 से गुणा करें :
9x − 15y = 12 ...(3)
(3) − (2):
(9x − 15y) − (9x − 2y) = 12 − 7
−13y = 5
y = −5/13
(1) में रखें :
3x − 5(−5/13) = 4
3x + 25/13 = 4
3x = (52 − 25)/13 = 27/13
x = 9/13
3x − 5y = 4 ...(1)
9x = 2y + 7 ⇒ 9x − 2y = 7 ...(2)
(1) को 3 से गुणा करें :
9x − 15y = 12 ...(3)
(3) − (2):
(9x − 15y) − (9x − 2y) = 12 − 7
−13y = 5
y = −5/13
(1) में रखें :
3x − 5(−5/13) = 4
3x + 25/13 = 4
3x = (52 − 25)/13 = 27/13
x = 9/13
x = 9/13 , y = −5/13
(iv)
x − y/3 = 3 ...(1)
x/2 + 2y/3 = −1 ...(2)
(1) को 3 से गुणा :
3x − y = 9 ...(3)
(2) को 6 से गुणा :
3x + 4y = −6 ...(4)
(4) − (3):
(3x + 4y) − (3x − y) = −6 − 9
5y = −15
y = −3
(3) में रखें :
3x − (−3) = 9
3x + 3 = 9
3x = 6
x = 2
x − y/3 = 3 ...(1)
x/2 + 2y/3 = −1 ...(2)
(1) को 3 से गुणा :
3x − y = 9 ...(3)
(2) को 6 से गुणा :
3x + 4y = −6 ...(4)
(4) − (3):
(3x + 4y) − (3x − y) = −6 − 9
5y = −15
y = −3
(3) में रखें :
3x − (−3) = 9
3x + 3 = 9
3x = 6
x = 2
x = 2 , y = −3
प्रश्न 2 (i).
यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 1/2 हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 1/2 हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
मान लें भिन्न = x / y
पहली शर्त :
(x + 1)/(y − 1) = 1
⇒ x + 1 = y − 1
⇒ x − y = −2 ...(1)
दूसरी शर्त :
x/(y + 1) = 1/2
⇒ 2x = y + 1 ...(2)
(2) से y = 2x − 1
(1) में रखें :
x − (2x − 1) = −2
x − 2x + 1 = −2
−x = −3
x = 3
y = 2×3 − 1 = 5
पहली शर्त :
(x + 1)/(y − 1) = 1
⇒ x + 1 = y − 1
⇒ x − y = −2 ...(1)
दूसरी शर्त :
x/(y + 1) = 1/2
⇒ 2x = y + 1 ...(2)
(2) से y = 2x − 1
(1) में रखें :
x − (2x − 1) = −2
x − 2x + 1 = −2
−x = −3
x = 3
y = 2×3 − 1 = 5
भिन्न = 3/5
प्रश्न 2 (ii).
पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु ज्ञात कीजिए।
पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु ज्ञात कीजिए।
मान लें नूरी की वर्तमान आयु = x वर्ष
सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
5 वर्ष पूर्व :
x − 5 = 3(y − 5)
x − 5 = 3y − 15
x − 3y = −10 ...(1)
10 वर्ष बाद :
x + 10 = 2(y + 10)
x + 10 = 2y + 20
x − 2y = 10 ...(2)
(1) − (2):
(x − 3y) − (x − 2y) = −10 − 10
−y = −20
y = 20
(2) में रखें :
x − 2(20) = 10
x − 40 = 10
x = 50
सोनू की वर्तमान आयु = y वर्ष
5 वर्ष पूर्व :
x − 5 = 3(y − 5)
x − 5 = 3y − 15
x − 3y = −10 ...(1)
10 वर्ष बाद :
x + 10 = 2(y + 10)
x + 10 = 2y + 20
x − 2y = 10 ...(2)
(1) − (2):
(x − 3y) − (x − 2y) = −10 − 10
−y = −20
y = 20
(2) में रखें :
x − 2(20) = 10
x − 40 = 10
x = 50
नूरी = 50 वर्ष, सोनू = 20 वर्ष
प्रश्न 2 (iii).
दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का 9 गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
मान लें संख्या के अंक = x और y
संख्या = 10x + y
पलटी संख्या = 10y + x
दिया गया :
x + y = 9 ...(1)
9(10x + y) = 2(10y + x)
90x + 9y = 20y + 2x
88x − 11y = 0 ...(2)
(1) से y = 9 − x
(2) में रखें :
88x − 11(9 − x) = 0
88x − 99 + 11x = 0
99x = 99
x = 1
y = 9 − 1 = 8
संख्या = 10x + y
पलटी संख्या = 10y + x
दिया गया :
x + y = 9 ...(1)
9(10x + y) = 2(10y + x)
90x + 9y = 20y + 2x
88x − 11y = 0 ...(2)
(1) से y = 9 − x
(2) में रखें :
88x − 11(9 − x) = 0
88x − 99 + 11x = 0
99x = 99
x = 1
y = 9 − 1 = 8
संख्या = 18
प्रश्न 2 (iv).
मीना ₹2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने ₹50 तथा ₹100 के नोट लिए और कुल 25 नोट मिले। ज्ञात कीजिए कि उसे कितने ₹50 और ₹100 के नोट मिले।
मीना ₹2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने ₹50 तथा ₹100 के नोट लिए और कुल 25 नोट मिले। ज्ञात कीजिए कि उसे कितने ₹50 और ₹100 के नोट मिले।
मान लें ₹50 के नोट = x
₹100 के नोट = y
x + y = 25 ...(1)
50x + 100y = 2000 ...(2)
(2) को 50 से भाग दें :
x + 2y = 40 ...(3)
(3) − (1):
(x + 2y) − (x + y) = 40 − 25
y = 15
x = 25 − 15 = 10
₹100 के नोट = y
x + y = 25 ...(1)
50x + 100y = 2000 ...(2)
(2) को 50 से भाग दें :
x + 2y = 40 ...(3)
(3) − (1):
(x + 2y) − (x + y) = 40 − 25
y = 15
x = 25 − 15 = 10
₹50 के नोट = 10 , ₹100 के नोट = 15
प्रश्न 2 (v).
किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने 7 दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹27 अदा किए, जबकि सूसी ने 5 दिनों तक उसी पुस्तक के लिए ₹21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रति दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने 7 दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹27 अदा किए, जबकि सूसी ने 5 दिनों तक उसी पुस्तक के लिए ₹21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रति दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
मान लें प्रथम 3 दिनों का नियत किराया = ₹ x
और प्रति अतिरिक्त दिन का किराया = ₹ y
सरिता ने 7 दिन पुस्तक रखी
अतिरिक्त दिन = 7 − 3 = 4
अतः समीकरण :
x + 4y = 27 ...(1)
सूसी ने 5 दिन पुस्तक रखी
अतिरिक्त दिन = 5 − 3 = 2
अतः समीकरण :
x + 2y = 21 ...(2)
(1) − (2):
(x + 4y) − (x + 2y) = 27 − 21
2y = 6
y = 3
(2) में रखें :
x + 2(3) = 21
x + 6 = 21
x = 15
और प्रति अतिरिक्त दिन का किराया = ₹ y
सरिता ने 7 दिन पुस्तक रखी
अतिरिक्त दिन = 7 − 3 = 4
अतः समीकरण :
x + 4y = 27 ...(1)
सूसी ने 5 दिन पुस्तक रखी
अतिरिक्त दिन = 5 − 3 = 2
अतः समीकरण :
x + 2y = 21 ...(2)
(1) − (2):
(x + 4y) − (x + 2y) = 27 − 21
2y = 6
y = 3
(2) में रखें :
x + 2(3) = 21
x + 6 = 21
x = 15
प्रथम 3 दिनों का नियत किराया = ₹15
प्रति अतिरिक्त दिन का किराया = ₹3
प्रति अतिरिक्त दिन का किराया = ₹3
प्रश्न 3.
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए –
ax + by − a + b = 0 तथा bx − ay − a − b = 0
निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को विलोपन विधि से हल कीजिए –
ax + by − a + b = 0 तथा bx − ay − a − b = 0
पहला समीकरण :
ax + by = a − b ...(1)
दूसरा समीकरण :
bx − ay = a + b ...(2)
(1) को a से गुणा करें :
a²x + aby = a(a − b) = a² − ab ...(3)
(2) को b से गुणा करें :
b²x − aby = b(a + b) = ab + b² ...(4)
(3) + (4) :
(a² + b²)x = a² + b²
x = 1
(1) में x = 1 रखें :
a(1) + by = a − b
by = −b
y = −1
ax + by = a − b ...(1)
दूसरा समीकरण :
bx − ay = a + b ...(2)
(1) को a से गुणा करें :
a²x + aby = a(a − b) = a² − ab ...(3)
(2) को b से गुणा करें :
b²x − aby = b(a + b) = ab + b² ...(4)
(3) + (4) :
(a² + b²)x = a² + b²
x = 1
(1) में x = 1 रखें :
a(1) + by = a − b
by = −b
y = −1
x = 1 , y = −1
प्रश्न 4.
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए –
41x + 53y = 135 तथा 53x + 41y = 147
निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए –
41x + 53y = 135 तथा 53x + 41y = 147
पहला समीकरण :
41x + 53y = 135 ...(1)
दूसरा समीकरण :
53x + 41y = 147 ...(2)
(1) को 41 से गुणा करें :
1681x + 2173y = 5535 ...(3)
(2) को 53 से गुणा करें :
2809x + 2173y = 7791 ...(4)
(4) − (3) :
(2809x + 2173y) − (1681x + 2173y) = 7791 − 5535
1128x = 2256
x = 2256 ÷ 1128
x = 2
(1) में x = 2 रखें :
41(2) + 53y = 135
82 + 53y = 135
53y = 135 − 82
53y = 53
y = 1
41x + 53y = 135 ...(1)
दूसरा समीकरण :
53x + 41y = 147 ...(2)
(1) को 41 से गुणा करें :
1681x + 2173y = 5535 ...(3)
(2) को 53 से गुणा करें :
2809x + 2173y = 7791 ...(4)
(4) − (3) :
(2809x + 2173y) − (1681x + 2173y) = 7791 − 5535
1128x = 2256
x = 2256 ÷ 1128
x = 2
(1) में x = 2 रखें :
41(2) + 53y = 135
82 + 53y = 135
53y = 135 − 82
53y = 53
y = 1
x = 2 , y = 1
प्रश्न 5.
यदि x = 2 हो, तो y का मान ज्ञात कीजिए :
1/x + 5/y = 3
यदि x = 2 हो, तो y का मान ज्ञात कीजिए :
1/x + 5/y = 3
दिया है :
1/x + 5/y = 3
x = 2 रखें :
1/2 + 5/y = 3
5/y = 3 − 1/2
5/y = (6 − 1)/2
5/y = 5/2
Cross multiply :
5 × 2 = 5y
10 = 5y
y = 2
1/x + 5/y = 3
x = 2 रखें :
1/2 + 5/y = 3
5/y = 3 − 1/2
5/y = (6 − 1)/2
5/y = 5/2
Cross multiply :
5 × 2 = 5y
10 = 5y
y = 2
y = 2
प्रश्न 6.
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए –
3/x + 10/y = 3 तथा 1/x + 5/y = 2
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए –
3/x + 10/y = 3 तथा 1/x + 5/y = 2
मान लें :
1/x = a , 1/y = b
तो समीकरण बनेंगे :
3a + 10b = 3 ...(1)
a + 5b = 2 ...(2)
(2) को 3 से गुणा करें :
3a + 15b = 6 ...(3)
(3) − (1) :
(3a + 15b) − (3a + 10b) = 6 − 3
5b = 3
b = 3/5
(2) में रखें :
a + 5(3/5) = 2
a + 3 = 2
a = −1
अब :
1/x = −1 ⇒ x = −1
1/y = 3/5 ⇒ y = 5/3
1/x = a , 1/y = b
तो समीकरण बनेंगे :
3a + 10b = 3 ...(1)
a + 5b = 2 ...(2)
(2) को 3 से गुणा करें :
3a + 15b = 6 ...(3)
(3) − (1) :
(3a + 15b) − (3a + 10b) = 6 − 3
5b = 3
b = 3/5
(2) में रखें :
a + 5(3/5) = 2
a + 3 = 2
a = −1
अब :
1/x = −1 ⇒ x = −1
1/y = 3/5 ⇒ y = 5/3
x = −1 , y = 5/3
प्रश्न 7.
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए –
2x + 3y = 16 तथा 3x − 2y = 0
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए –
2x + 3y = 16 तथा 3x − 2y = 0
पहला समीकरण :
2x + 3y = 16 ...(1)
दूसरा समीकरण :
3x − 2y = 0 ...(2)
(1) को 2 से गुणा करें :
4x + 6y = 32 ...(3)
(2) को 3 से गुणा करें :
9x − 6y = 0 ...(4)
(3) + (4) :
(4x + 6y) + (9x − 6y) = 32 + 0
13x = 32
x = 32/13
(1) में x का मान रखें :
2(32/13) + 3y = 16
64/13 + 3y = 16
3y = 16 − 64/13
3y = (208 − 64)/13
3y = 144/13
y = 48/13
2x + 3y = 16 ...(1)
दूसरा समीकरण :
3x − 2y = 0 ...(2)
(1) को 2 से गुणा करें :
4x + 6y = 32 ...(3)
(2) को 3 से गुणा करें :
9x − 6y = 0 ...(4)
(3) + (4) :
(4x + 6y) + (9x − 6y) = 32 + 0
13x = 32
x = 32/13
(1) में x का मान रखें :
2(32/13) + 3y = 16
64/13 + 3y = 16
3y = 16 − 64/13
3y = (208 − 64)/13
3y = 144/13
y = 48/13
x = 32/13 , y = 48/13
प्रश्न 8.
विलोपन विधि का उपयोग करके निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए –
1/x + 1/(2y) = 2 तथा 2/x + 3/y = 6
विलोपन विधि का उपयोग करके निम्न रैखिक समीकरण युग्म को हल कीजिए –
1/x + 1/(2y) = 2 तथा 2/x + 3/y = 6
दिया गया है :
1/x + 1/(2y) = 2 ...(1)
2/x + 3/y = 6 ...(2)
(1) को 2 से गुणा करें :
2/x + 1/y = 4 ...(3)
(3) और (2) लिखें :
2/x + 1/y = 4 ...(3)
2/x + 3/y = 6 ...(2)
(2) − (3) :
(2/x + 3/y) − (2/x + 1/y) = 6 − 4
2/y = 2
1/y = 1
y = 1
(3) में y = 1 रखें :
2/x + 1 = 4
2/x = 3
x = 2/3
1/x + 1/(2y) = 2 ...(1)
2/x + 3/y = 6 ...(2)
(1) को 2 से गुणा करें :
2/x + 1/y = 4 ...(3)
(3) और (2) लिखें :
2/x + 1/y = 4 ...(3)
2/x + 3/y = 6 ...(2)
(2) − (3) :
(2/x + 3/y) − (2/x + 1/y) = 6 − 4
2/y = 2
1/y = 1
y = 1
(3) में y = 1 रखें :
2/x + 1 = 4
2/x = 3
x = 2/3
x = 2/3 , y = 1
प्रश्न 10.
निम्नांकित समीकरणों के युग्म को हल कीजिए –
2(ax − by) + (a + 4b) = 0
2(bx + ay) + (b − 4a) = 0
निम्नांकित समीकरणों के युग्म को हल कीजिए –
2(ax − by) + (a + 4b) = 0
2(bx + ay) + (b − 4a) = 0
पहला समीकरण :
2(ax − by) + a + 4b = 0
2ax − 2by + a + 4b = 0
2ax − 2by = −a − 4b ...(1)
दूसरा समीकरण :
2(bx + ay) + b − 4a = 0
2bx + 2ay + b − 4a = 0
2bx + 2ay = 4a − b ...(2)
(1) को a से गुणा करें :
2a²x − 2aby = −a² − 4ab ...(3)
(2) को b से गुणा करें :
2b²x + 2aby = 4ab − b² ...(4)
(3) + (4) :
(2a²x − 2aby) + (2b²x + 2aby) = (−a² − 4ab) + (4ab − b²)
2a²x + 2b²x = −a² − b²
2x(a² + b²) = −(a² + b²)
x = −1/2
(1) में x = −1/2 रखें :
2a(−1/2) − 2by = −a − 4b
−a − 2by = −a − 4b
−2by = −4b
y = 2
2(ax − by) + a + 4b = 0
2ax − 2by + a + 4b = 0
2ax − 2by = −a − 4b ...(1)
दूसरा समीकरण :
2(bx + ay) + b − 4a = 0
2bx + 2ay + b − 4a = 0
2bx + 2ay = 4a − b ...(2)
(1) को a से गुणा करें :
2a²x − 2aby = −a² − 4ab ...(3)
(2) को b से गुणा करें :
2b²x + 2aby = 4ab − b² ...(4)
(3) + (4) :
(2a²x − 2aby) + (2b²x + 2aby) = (−a² − 4ab) + (4ab − b²)
2a²x + 2b²x = −a² − b²
2x(a² + b²) = −(a² + b²)
x = −1/2
(1) में x = −1/2 रखें :
2a(−1/2) − 2by = −a − 4b
−a − 2by = −a − 4b
−2by = −4b
y = 2
x = −1/2 , y = 2
प्रश्न 11 (i).
एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है, छात्रावास के व्यय के लिए ₹1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹1000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है, छात्रावास के व्यय के लिए ₹1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
मान लेते हैं,
नियत मासिक व्यय = ₹x
प्रतिदिन भोजन का व्यय = ₹y
विद्यार्थी A 20 दिन भोजन करता है और कुल ₹1000 देता है, अतः
x + 20y = 1000 ...(1)
विद्यार्थी B 26 दिन भोजन करता है और कुल ₹1180 देता है, अतः
x + 26y = 1180 ...(2)
(2) – (1):
(x + 26y) − (x + 20y) = 1180 − 1000
6y = 180
y = 30
y = 30 को (1) में रखें:
x + 20(30) = 1000
x + 600 = 1000
x = 400
नियत मासिक व्यय = ₹x
प्रतिदिन भोजन का व्यय = ₹y
विद्यार्थी A 20 दिन भोजन करता है और कुल ₹1000 देता है, अतः
x + 20y = 1000 ...(1)
विद्यार्थी B 26 दिन भोजन करता है और कुल ₹1180 देता है, अतः
x + 26y = 1180 ...(2)
(2) – (1):
(x + 26y) − (x + 20y) = 1180 − 1000
6y = 180
y = 30
y = 30 को (1) में रखें:
x + 20(30) = 1000
x + 600 = 1000
x = 400
नियत मासिक व्यय = ₹400
प्रतिदिन भोजन का व्यय = ₹30
प्रतिदिन भोजन का व्यय = ₹30
प्रश्न 11 (ii).
एक भिन्न हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 3/4 हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
एक भिन्न हो जाती है, जब उसके अंश से 1 घटाया जाता है और वह 3/4 हो जाती है, जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
मान लेते हैं कि भिन्न = x/y
शर्त 1:
( x − 1 ) / y = 1/3
3(x − 1) = y ...(1)
शर्त 2:
x / (y + 8) = 3/4
4x = 3(y + 8)
4x = 3y + 24 ...(2)
(1) से y = 3x − 3
इसे (2) में रखें:
4x = 3(3x − 3) + 24
4x = 9x − 9 + 24
4x = 9x + 15
5x = −15
x = −3
y = 3(−3) − 3 = −12
शर्त 1:
( x − 1 ) / y = 1/3
3(x − 1) = y ...(1)
शर्त 2:
x / (y + 8) = 3/4
4x = 3(y + 8)
4x = 3y + 24 ...(2)
(1) से y = 3x − 3
इसे (2) में रखें:
4x = 3(3x − 3) + 24
4x = 9x − 9 + 24
4x = 9x + 15
5x = −15
x = −3
y = 3(−3) − 3 = −12
भिन्न = −3 / −12 = 1/4
प्रश्न 11 (iii).
यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?
यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?
मान लेते हैं,
सही उत्तर = x
गलत उत्तर = y
पहली स्थिति:
3x − y = 40 ...(1)
दूसरी स्थिति:
4x − 2y = 50 ...(2)
(1) को 2 से गुणा:
6x − 2y = 80 ...(3)
(3) − (2):
6x − 2y − (4x − 2y) = 80 − 50
2x = 30
x = 15
(1) में रखें:
3(15) − y = 40
45 − y = 40
y = 5
सही उत्तर = x
गलत उत्तर = y
पहली स्थिति:
3x − y = 40 ...(1)
दूसरी स्थिति:
4x − 2y = 50 ...(2)
(1) को 2 से गुणा:
6x − 2y = 80 ...(3)
(3) − (2):
6x − 2y − (4x − 2y) = 80 − 50
2x = 30
x = 15
(1) में रखें:
3(15) − y = 40
45 − y = 40
y = 5
कुल प्रश्न = 15 + 5 = 20
प्रश्न 11 (iv).
एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं, यदि वे विपरीत दिशा में चलती हैं, तो एक घंटे के पश्चात् मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती है। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घंटे पश्चात् मिलती हैं, यदि वे विपरीत दिशा में चलती हैं, तो एक घंटे के पश्चात् मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
मान लेते हैं,
A से चलने वाली कार की चाल = x km/h
B से चलने वाली कार की चाल = y km/h
विपरीत दिशा में:
x + y = 100 ...(1)
एक ही दिशा में 5 घंटे बाद मिलती हैं:
x − y = 20 ...(2)
(1) + (2):
2x = 120
x = 60
y = 100 − 60 = 40
A से चलने वाली कार की चाल = x km/h
B से चलने वाली कार की चाल = y km/h
विपरीत दिशा में:
x + y = 100 ...(1)
एक ही दिशा में 5 घंटे बाद मिलती हैं:
x − y = 20 ...(2)
(1) + (2):
2x = 120
x = 60
y = 100 − 60 = 40
कार A की चाल = 60 km/h
कार B की चाल = 40 km/h
कार B की चाल = 40 km/h
प्रश्न 11 (v).
एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लंबाई 5 इकाई कम कर दी जाती है और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लंबाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
मान लेते हैं,
लंबाई = x
चौड़ाई = y
मूल क्षेत्रफल = xy
पहली स्थिति:
(x − 5)(y + 3) = xy − 9
xy + 3x − 5y − 15 = xy − 9
3x − 5y = 6 ...(1)
दूसरी स्थिति:
(x + 3)(y + 2) = xy + 67
xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
2x + 3y = 61 ...(2)
(1) × 3:
9x − 15y = 18 ...(3)
(2) × 5:
10x + 15y = 305 ...(4)
(3) + (4):
19x = 323
x = 17
2(17) + 3y = 61
34 + 3y = 61
y = 9
लंबाई = x
चौड़ाई = y
मूल क्षेत्रफल = xy
पहली स्थिति:
(x − 5)(y + 3) = xy − 9
xy + 3x − 5y − 15 = xy − 9
3x − 5y = 6 ...(1)
दूसरी स्थिति:
(x + 3)(y + 2) = xy + 67
xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
2x + 3y = 61 ...(2)
(1) × 3:
9x − 15y = 18 ...(3)
(2) × 5:
10x + 15y = 305 ...(4)
(3) + (4):
19x = 323
x = 17
2(17) + 3y = 61
34 + 3y = 61
y = 9
आयत की लंबाई = 17 इकाई
आयत की चौड़ाई = 9 इकाई
आयत की चौड़ाई = 9 इकाई
Exercise – 3.4
प्रश्न 1.
2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा।
2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा।
मान लेते हैं,
एक महिला अकेले काम को n दिन में पूरा करती है।
एक पुरुष अकेले काम को m दिन में पूरा करता है।
अतः एक महिला का 1 दिन का कार्य = 1/n
एक पुरुष का 1 दिन का कार्य = 1/m
पहली स्थिति के अनुसार:
2 महिलाएँ और 5 पुरुष 4 दिन में कार्य करते हैं
अतः प्रतिदिन किया गया कार्य = 1/4
2/n + 5/m = 1/4 ...(1)
दूसरी स्थिति के अनुसार:
3 महिलाएँ और 6 पुरुष 3 दिन में कार्य करते हैं
अतः प्रतिदिन किया गया कार्य = 1/3
3/n + 6/m = 1/3 ...(2)
(1) × 12:
24/n + 60/m = 3 ...(3)
(2) × 12:
36/n + 72/m = 4 ...(4)
(4) − (3):
12/n + 12/m = 1
1/n + 1/m = 1/12 ...(5)
(1) से:
2/n + 5/m = 1/4 ...(1)
(5) × 2:
2/n + 2/m = 1/6 ...(6)
(1) − (6):
3/m = 1/4 − 1/6 = (3 − 2)/12 = 1/12
m = 36
1/n = 1/12 − 1/36 = (3 − 1)/36 = 2/36 = 1/18
n = 18
एक महिला अकेले काम को n दिन में पूरा करती है।
एक पुरुष अकेले काम को m दिन में पूरा करता है।
अतः एक महिला का 1 दिन का कार्य = 1/n
एक पुरुष का 1 दिन का कार्य = 1/m
पहली स्थिति के अनुसार:
2 महिलाएँ और 5 पुरुष 4 दिन में कार्य करते हैं
अतः प्रतिदिन किया गया कार्य = 1/4
2/n + 5/m = 1/4 ...(1)
दूसरी स्थिति के अनुसार:
3 महिलाएँ और 6 पुरुष 3 दिन में कार्य करते हैं
अतः प्रतिदिन किया गया कार्य = 1/3
3/n + 6/m = 1/3 ...(2)
(1) × 12:
24/n + 60/m = 3 ...(3)
(2) × 12:
36/n + 72/m = 4 ...(4)
(4) − (3):
12/n + 12/m = 1
1/n + 1/m = 1/12 ...(5)
(1) से:
2/n + 5/m = 1/4 ...(1)
(5) × 2:
2/n + 2/m = 1/6 ...(6)
(1) − (6):
3/m = 1/4 − 1/6 = (3 − 2)/12 = 1/12
m = 36
1/n = 1/12 − 1/36 = (3 − 1)/36 = 2/36 = 1/18
n = 18
एक महिला अकेले काम 18 दिन में करेगी।
एक पुरुष अकेले काम 36 दिन में करेगा।
एक पुरुष अकेले काम 36 दिन में करेगा।
प्रश्न 2.
रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।
रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घंटे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।
मान लेते हैं,
रेलगाड़ी की चाल = u km/h
बस की चाल = v km/h
पहली स्थिति:
60 km रेल से और 240 km बस से = 4 घंटे
60/u + 240/v = 4 ...(1)
दूसरी स्थिति:
100 km रेल से और 200 km बस से = 4 घंटे 10 मिनट = 25/6 घंटे
100/u + 200/v = 25/6 ...(2)
(1) × 6:
360/u + 1440/v = 24 ...(3)
(2) × 6:
600/u + 1200/v = 25 ...(4)
(3) − (4):
−240/u + 240/v = −1
1/u − 1/v = 1/240 ...(5)
(1) को 1/60 से गुणा:
1/u + 4/v = 1/15 ...(6)
(6) − (5):
5/v = 1/15 − 1/240 = (16 − 1)/240 = 15/240 = 1/16
v = 80
1/u = 1/240 + 1/80 = (1 + 3)/240 = 4/240 = 1/60
u = 60
रेलगाड़ी की चाल = u km/h
बस की चाल = v km/h
पहली स्थिति:
60 km रेल से और 240 km बस से = 4 घंटे
60/u + 240/v = 4 ...(1)
दूसरी स्थिति:
100 km रेल से और 200 km बस से = 4 घंटे 10 मिनट = 25/6 घंटे
100/u + 200/v = 25/6 ...(2)
(1) × 6:
360/u + 1440/v = 24 ...(3)
(2) × 6:
600/u + 1200/v = 25 ...(4)
(3) − (4):
−240/u + 240/v = −1
1/u − 1/v = 1/240 ...(5)
(1) को 1/60 से गुणा:
1/u + 4/v = 1/15 ...(6)
(6) − (5):
5/v = 1/15 − 1/240 = (16 − 1)/240 = 15/240 = 1/16
v = 80
1/u = 1/240 + 1/80 = (1 + 3)/240 = 4/240 = 1/60
u = 60
रेलगाड़ी की चाल = 60 km/h
बस की चाल = 80 km/h
बस की चाल = 80 km/h
प्रश्न 3.
एक आदमी और एक लड़का एक काम को 24 दिन में कर सकते हैं। और दो आदमी और सात लड़के उसी काम को 8 दिन में कर सकते हैं। प्रत्येक को अलग-अलग काम करने में कितने दिन लगेंगे ?
एक आदमी और एक लड़का एक काम को 24 दिन में कर सकते हैं। और दो आदमी और सात लड़के उसी काम को 8 दिन में कर सकते हैं। प्रत्येक को अलग-अलग काम करने में कितने दिन लगेंगे ?
मान लेते हैं,
एक आदमी अकेले काम को x दिन में करता है।
एक लड़का अकेले काम को y दिन में करता है।
पहली स्थिति:
1 आदमी + 1 लड़का 24 दिन में काम करते हैं
1/x + 1/y = 1/24 ...(1)
दूसरी स्थिति:
2 आदमी + 7 लड़के 8 दिन में काम करते हैं
2/x + 7/y = 1/8 ...(2)
(1) × 2:
2/x + 2/y = 1/12 ...(3)
(2) − (3):
5/y = 1/8 − 1/12 = (3 − 2)/24 = 1/24
y = 120
1/x = 1/24 − 1/120 = (5 − 1)/120 = 4/120 = 1/30
x = 30
एक आदमी अकेले काम को x दिन में करता है।
एक लड़का अकेले काम को y दिन में करता है।
पहली स्थिति:
1 आदमी + 1 लड़का 24 दिन में काम करते हैं
1/x + 1/y = 1/24 ...(1)
दूसरी स्थिति:
2 आदमी + 7 लड़के 8 दिन में काम करते हैं
2/x + 7/y = 1/8 ...(2)
(1) × 2:
2/x + 2/y = 1/12 ...(3)
(2) − (3):
5/y = 1/8 − 1/12 = (3 − 2)/24 = 1/24
y = 120
1/x = 1/24 − 1/120 = (5 − 1)/120 = 4/120 = 1/30
x = 30
एक आदमी अकेले काम 30 दिन में करेगा।
एक लड़का अकेले काम 120 दिन में करेगा।
एक लड़का अकेले काम 120 दिन में करेगा।