Exercise 7.1
प्रश्न 1.
यदि बिंदु A के निर्देशांक (−5, 7) हैं, तो वह बिंदु किस चतुर्थांश में स्थित होगा?
दिया गया बिंदु A = (−5, 7)
यहाँ पहला निर्देशांक x = −5 है, जो 0 से छोटा है, इसलिए x ऋणात्मक है।
दूसरा निर्देशांक y = 7 है, जो 0 से बड़ा है, इसलिए y धनात्मक है।
नियम: जब x ऋणात्मक तथा y धनात्मक हो, तब बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में होता है।
उत्तर: द्वितीय चतुर्थांश
प्रश्न 2.
यदि बिंदु P के निर्देशांक (3, −9) हों तो वह बिंदु किस चतुर्थांश में है?
बिंदु P = (3, −9)
x = 3 है, जो 0 से बड़ा है, अतः x धनात्मक है।
y = −9 है, जो 0 से छोटा है, अतः y ऋणात्मक है।
नियम: x धनात्मक तथा y ऋणात्मक होने पर बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में होता है।
उत्तर: चतुर्थ चतुर्थांश
प्रश्न 3.
कार्तीय तल पर निम्नलिखित बिंदु किस चतुर्थांश में हैं?
(2,2); (2,5); (−3,5); (−4,8); (2,6); (−2,−5); (−3,−7); (4,4) और (3,−8)
(2,2): x>0, y>0 ⇒ प्रथम चतुर्थांश
(2,5): x>0, y>0 ⇒ प्रथम चतुर्थांश
(−3,5): x<0, y>0 ⇒ द्वितीय चतुर्थांश
(−4,8): x<0, y>0 ⇒ द्वितीय चतुर्थांश
(2,6): x>0, y>0 ⇒ प्रथम चतुर्थांश
(−2,−5): x<0, y<0 ⇒ तृतीय चतुर्थांश
(−3,−7): x<0, y<0 ⇒ तृतीय चतुर्थांश
(4,4): x>0, y>0 ⇒ प्रथम चतुर्थांश
(3,−8): x>0, y<0 ⇒ चतुर्थ चतुर्थांश
उत्तर: प्रथम, प्रथम, द्वितीय, द्वितीय, प्रथम, तृतीय, तृतीय, प्रथम, चतुर्थ
प्रश्न 4.
y-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का भुज क्या होगा?
भुज का अर्थ x-निर्देशांक होता है।
y-अक्ष पर स्थित हर बिंदु का x-निर्देशांक 0 होता है।
उत्तर: 0
प्रश्न 5.
उस बिंदु की कोटि क्या होगी जो x-अक्ष पर स्थित है?
कोटि का अर्थ y-निर्देशांक होता है।
x-अक्ष पर स्थित हर बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है।
उत्तर: 0
प्रश्न 6.
यदि कोई बिंदु y-अक्ष पर हो, तो उसका कौन-सा निर्देशांक ज्ञात है?
y-अक्ष पर स्थित बिंदु का x-निर्देशांक सदैव 0 होता है।
उत्तर: x-निर्देशांक, 0
प्रश्न 7.
क्या कोई बिंदु ऐसा हो सकता है जो x-अक्ष और y-अक्ष दोनों पर हो? उसे क्या कहते हैं? उसके निर्देशांक क्या हैं?
x-अक्ष और y-अक्ष का प्रतिच्छेद बिंदु मूल बिंदु कहलाता है।
इस बिंदु के निर्देशांक (0, 0) होते हैं।
उत्तर: हाँ, मूल बिंदु (0, 0)
प्रश्न 8.
निम्न बिंदु युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए—
(i) (0,0) और (3,4)
(ii) (−2,6) और (3,−6)
(iii) (9,0) और (0,9)
(iv) (a,b) और (−b,a)
दूरी = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
(i) x₂−x₁ = 3−0 = 3, y₂−y₁ = 4−0 = 4
दूरी = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
(ii) दूरी = √[(3+2)² + (−6−6)²] = √(25 + 144) = √169 = 13
(iii) दूरी = √[(0−9)² + (9−0)²] = √(81 + 81) = √162 = 9√2
(iv) दूरी = √[(−b−a)² + (a−b)²] = √[2(a² + b²)]
उत्तर: (i) 5, (ii) 13, (iii) 9√2, (iv) √2(a² + b²)
प्रश्न 9.
बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए—
(i) (2,3),(4,1)
(ii) (−5,7),(−1,3)
(iii) (a,b),(−a,−b)
दूरी = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
(i) दूरी = √[(4−2)² + (1−3)²] = √(4 + 4) = √8 = 2√2
(ii) दूरी = √[(−1+5)² + (3−7)²] = √(16 + 16) = √32 = 4√2
(iii) दूरी = √[(−a−a)² + (−b−b)²] = √[4(a² + b²)] = 2√(a² + b²)
उत्तर: (i) 2√2, (ii) 4√2, (iii) 2√(a² + b²)
प्रश्न 10.
बिंदुओं (0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
दूरी = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
x₁ = 0, y₁ = 0, x₂ = 36, y₂ = 15
दूरी = √[(36−0)² + (15−0)²]
= √(1296 + 225)
= √1521
= 39
उत्तर: 39
प्रश्न 11.
जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (1,5), (2,3) और (−2,−11) संरेखी हैं।
ढाल (m) = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)
बिंदु A(1,5), B(2,3), C(−2,−11)
mAB = (3−5)/(2−1) = −2
mBC = (−11−3)/(−2−2) = −14/−4 = 7/2
चूँकि mAB ≠ mBC
उत्तर: बिंदु संरेखी नहीं हैं।
प्रश्न 12.
जाँच कीजिए कि क्या बिंदु (5,−2), (6,4) और (7,−2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
दूरी = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
AB = √[(6−5)² + (4+2)²] = √(1 + 36) = √37
BC = √[(7−6)² + (−2−4)²] = √(1 + 36) = √37
AC = √[(7−5)² + (−2+2)²] = √4 = 2
AB = BC
उत्तर: हाँ, ये बिंदु समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
प्रश्न 13.
दूरी सूत्र का प्रयोग करके बताइए कि निम्नलिखित में से कौन सही है – चंपा या चमेली।
चारों भुजाओं की लंबाई दूरी सूत्र से समान प्राप्त होती है।
अतः आकृति एक वर्ग है।
उत्तर: चंपा सही है।
प्रश्न 14.
बिंदुओं A(1,2), B(4,6) और C(6,3) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂−y₃)+x₂(y₃−y₁)+x₃(y₁−y₂)|
= ½ |1(6−3) + 4(3−2) + 6(2−6)|
= ½ |3 + 4 − 24|
= ½ × 17
उत्तर: 17/2 वर्ग इकाई
प्रश्न 15.
यदि बिंदु (1,2), (2,4) और (3,6) एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो सिद्ध कीजिए।
ढाल AB = (4−2)/(2−1) = 2
ढाल BC = (6−4)/(3−2) = 2
ढाल AB = ढाल BC
उत्तर: बिंदु संरेखी हैं।
प्रश्न 16.
यदि त्रिभुज के शीर्ष (0,0), (4,0) और (0,3) हों, तो उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
यह समकोण त्रिभुज है।
आधार = 4, ऊँचाई = 3
क्षेत्रफल = ½ × 4 × 3
उत्तर: 6 वर्ग इकाई
प्रश्न 17.
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो x-अक्ष पर स्थित है और बिंदुओं (2,−2) और (−4,4) से समदूरस्थ है।
मान लें बिंदु (x,0)
दूरी बराबर रखी:
(x−2)² + 4 = (x+4)² + 16
x² − 4x + 4 + 4 = x² + 8x + 16 + 16
−12x = 24 ⇒ x = −2
उत्तर: (−2, 0)
प्रश्न 18.
x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (2, −5) और (−2, 9) से समदूरस्थ है।
मान लें वांछित बिंदु P = (x, 0), क्योंकि बिंदु x-अक्ष पर है।
दूरी सूत्र: √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
PA² = (x−2)² + (0+5)² = (x−2)² + 25
PB² = (x+2)² + (0−9)² = (x+2)² + 81
समदूरस्थ ⇒ PA² = PB²
(x−2)² + 25 = (x+2)² + 81
x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81
−8x = 56 ⇒ x = −7
उत्तर: (−7, 0)
प्रश्न 19.
y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु P(2, −3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
दूरी = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
√[(10−2)² + (y+3)²] = 10
64 + (y+3)² = 100
(y+3)² = 36
y+3 = 6 या y+3 = −6
उत्तर: y = 3 या y = −9
प्रश्न 20.
यदि Q(0, 1) बिंदुओं P(5, −3) और R(x, 6) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QP और QR भी ज्ञात कीजिए।
QP² = (0−5)² + (1+3)² = 25 + 16 = 41
QR² = (x−0)² + (6−1)² = x² + 25
समदूरस्थ ⇒ QP² = QR² ⇒ 41 = x² + 25
x² = 16 ⇒ x = 4 या x = −4
QP = √41, QR = √41
उत्तर: x = ±4, QP = QR = √41
प्रश्न 21.
x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x, y) बिंदुओं (3, 6) और (−3, 4) से समदूरस्थ हो।
समदूरस्थ ⇒ दोनों दूरियाँ बराबर
(x−3)² + (y−6)² = (x+3)² + (y−4)²
x² − 6x + 9 + y² − 12y + 36 = x² + 6x + 9 + y² − 8y + 16
−6x − 12y + 45 = 6x − 8y + 25
−12x − 4y + 20 = 0 ⇒ 3x + y − 5 = 0
उत्तर: 3x + y − 5 = 0
प्रश्न 22.
बिंदुओं (−2, −2), (−2, 4), (4, 4) और (4, −2) से बनने वाली चतुर्भुज का प्रकार ज्ञात कीजिए।
क्रम से जोड़ने पर सभी भुजाएँ अक्षों के समानांतर हैं।
लंबाई = |4 − (−2)| = 6, चौड़ाई = |4 − (−2)| = 6
सभी कोण 90° तथा सभी भुजाएँ समान ⇒ वर्ग
उत्तर: वर्ग
प्रश्न 23.
बिंदुओं (1, −1), (2, 1), (4, 2) और (3, 0) से बनने वाली चतुर्भुज का प्रकार ज्ञात कीजिए।
AB की ढाल = (1+1)/(2−1) = 2, CD की ढाल = (0−2)/(3−4) = 2
BC की ढाल = (2−1)/(4−2) = 1/2, AD की ढाल = (−1−0)/(1−3) = 1/2
विपरीत भुजाएँ समानांतर ⇒ समांतर चतुर्भुज
उत्तर: समांतर चतुर्भुज
Excerise 7.2
प्रश्न 1.
निम्नलिखित बिन्दुओं से खींचे जाने वाले रेखाखण्ड को दिए हुए अनुपात में अंतः विभाजन करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(i) बिन्दु (8, 9) और (−7, 4), अनुपात 2 : 3
अंतः विभाजन सूत्र :
x = (m x₂ + n x₁)/(m+n), y = (m y₂ + n y₁)/(m+n)
m = 2, n = 3
x = (m x₂ + n x₁)/(m+n), y = (m y₂ + n y₁)/(m+n)
x₁ = 8, y₁ = 9
x₂ = −7, y₂ = 4
x = (2×(−7) + 3×8)/5 = (−14 + 24)/5 = 2
y = (2×4 + 3×9)/5 = (8 + 27)/5 = 7
y = (2×4 + 3×9)/5 = (8 + 27)/5 = 7
उत्तर : (2, 7)
(ii) (1,2) और (3,4), अनुपात 5 : 7
x = (5×3 + 7×1)/12 = 22/12 = 11/6
y = (5×4 + 7×2)/12 = 34/12 = 17/6
y = (5×4 + 7×2)/12 = 34/12 = 17/6
उत्तर : (11/6, 17/6)
(iii) (2,0) और (0,4), अनुपात 3 : 2
x = (3×0 + 2×2)/5 = 4/5
y = (3×4 + 2×0)/5 = 12/5
y = (3×4 + 2×0)/5 = 12/5
उत्तर : (4/5, 12/5)
(iv) (5,7) और (4,5), अनुपात 2 : 3
x = (2×4 + 3×5)/5 = 23/5
y = (2×5 + 3×7)/5 = 31/5
y = (2×5 + 3×7)/5 = 31/5
उत्तर : (23/5, 31/5)
प्रश्न 2.
उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (−1,7) और (4,−3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है।
x = (2×4 + 3×(−1))/5 = (8−3)/5 = 1
y = (2×(−3) + 3×7)/5 = (−6+21)/5 = 3
y = (2×(−3) + 3×7)/5 = (−6+21)/5 = 3
उत्तर : (1, 3)
प्रश्न 3.
बिंदुओं (4, −1) और (−2, −3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
पहला बिंदु (1:2):
x = (1×(−2) + 2×4)/3 = 2
y = (1×(−3) + 2×(−1))/3 = −5/3
x = (1×(−2) + 2×4)/3 = 2
y = (1×(−3) + 2×(−1))/3 = −5/3
दूसरा बिंदु (2:1):
x = (2×(−2) + 1×4)/3 = 0
y = (2×(−3) + 1×(−1))/3 = −7/3
x = (2×(−2) + 1×4)/3 = 0
y = (2×(−3) + 1×(−1))/3 = −7/3
उत्तर : (2, −5/3) तथा (0, −7/3)
प्रश्न 4.
आपके स्कूल में खेल-कूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए एक आयताकार मैदान ABCD में
चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं।
AD के अनुदिश 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं।
निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर दूरी दौड़ती है और
वहाँ एक हरा झंडा गाड़ती है।
प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर दूरी दौड़ती है और
वहाँ एक लाल झंडा गाड़ती है।
दिया गया :
AD = 100 m
पंक्तियों के बीच दूरी = 1 m
AD = 100 m
पंक्तियों के बीच दूरी = 1 m
निहारिका का बिंदु = (2 , 100 × 1/4) = (2 , 25)
प्रीत का बिंदु = (8 , 100 × 1/5) = (8 , 20)
प्रीत का बिंदु = (8 , 100 × 1/5) = (8 , 20)
दो बिन्दुओं के बीच दूरी सूत्र :
√[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
= √[(8−2)² + (20−25)²]
= √[36 + 25]
= √61
= √[36 + 25]
= √61
उत्तर : √61 मीटर
अब दोनों झंडों के बीच की दूरी का मध्य बिंदु:
x = (2+8)/2 = 5
y = (25+20)/2 = 22.5
x = (2+8)/2 = 5
y = (25+20)/2 = 22.5
नीला झंडा : 5वीं पंक्ति में 22.5 m दूरी पर
प्रश्न 5.
बिंदुओं (3,10) और (6,8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को
बिंदु (−1,6) किस अनुपात में विभाजित करता है?
मान लीजिए अनुपात = m : n
x-निर्देशांक से:
−1 = (m×6 + n×3)/(m+n)
−1 = (m×6 + n×3)/(m+n)
⇒ −m − n = 6m + 3n
⇒ 7m + 4n = 0
⇒ m : n = 2 : 7
⇒ 7m + 4n = 0
⇒ m : n = 2 : 7
उत्तर : 2 : 7
प्रश्न 6.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिंदुओं A(1,5) और B(−4,5)
को मिलाने वाला रेखाखंड x-अक्ष से विभाजित होता है।
इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
x-अक्ष पर स्थित बिंदु का y-निर्देशांक = 0
मान लीजिए अनुपात = m : n
मान लीजिए अनुपात = m : n
y-निर्देशांक से:
0 = (m×5 + n×5)/(m+n)
0 = (m×5 + n×5)/(m+n)
⇒ 5m + 5n = 0
⇒ m = −n
⇒ अनुपात = 1 : 1
⇒ m = −n
⇒ अनुपात = 1 : 1
अब x-निर्देशांक:
x = (1×(−4) + 1×1)/2 = −3/2
x = (1×(−4) + 1×1)/2 = −3/2
उत्तर : अनुपात = 1 : 1 तथा विभाजन बिंदु = (−3/2 , 0)
प्रश्न 7.
ज्ञात कीजिए कि बिन्दु (11, 15) दिए गए बिन्दुओं (15, 5) तथा (9, 20)
को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है।
मान लीजिए अनुपात = m : n
x-निर्देशांक से:
11 = (m×9 + n×15)/(m+n)
11 = (m×9 + n×15)/(m+n)
⇒ 11m + 11n = 9m + 15n
⇒ 2m = 4n
⇒ m : n = 2 : 1
⇒ 2m = 4n
⇒ m : n = 2 : 1
उत्तर : 2 : 1
प्रश्न 8.
बिन्दुओं (3, −3) तथा (9, 9) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को
समत्रिभाग करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
पहला बिंदु (1 : 2 अनुपात में):
x = (1×9 + 2×3)/3 = 15/3 = 5
y = (1×9 + 2×(−3))/3 = 3/3 = 1
y = (1×9 + 2×(−3))/3 = 3/3 = 1
दूसरा बिंदु (2 : 1 अनुपात में):
x = (2×9 + 1×3)/3 = 21/3 = 7
y = (2×9 + 1×(−3))/3 = 15/3 = 5
y = (2×9 + 1×(−3))/3 = 15/3 = 5
उत्तर : (5, 1) तथा (7, 5)
प्रश्न 9.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (−2, −3) तथा (4, −1)
को मिलाने वाली रेखा का मध्य बिन्दु है।
मध्य बिन्दु सूत्र :
((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2)
x = (−2 + 4)/2 = 1
y = (−3 + (−1))/2 = −2
y = (−3 + (−1))/2 = −2
उत्तर : (1, −2)
प्रश्न 10.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, 3) और (−5, 9)
को मिलाने वाली रेखा को 2 : 15 के अनुपात में विभाजित करता है।
x = (2×(−5) + 15×1)/17 = (−10 + 15)/17 = 5/17
y = (2×9 + 15×3)/17 = (18 + 45)/17 = −27/17
y = (2×9 + 15×3)/17 = (18 + 45)/17 = −27/17
उत्तर : (5/17, −27/17)
प्रश्न 11.
बिन्दुओं (3, −2) और (−3, −4) को मिलाने वाली सरल रेखा को
समत्रिभाग करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
पहला बिंदु (1 : 2 अनुपात में):
x = (1×(−3) + 2×3)/3 = 3/3 = 1
y = (1×(−4) + 2×(−2))/3 = −8/3
y = (1×(−4) + 2×(−2))/3 = −8/3
दूसरा बिंदु (2 : 1 अनुपात में):
x = (2×(−3) + 1×3)/3 = −3/3 = −1
y = (2×(−4) + 1×(−2))/3 = −10/3
y = (2×(−4) + 1×(−2))/3 = −10/3
उत्तर : (1, −8/3) तथा (−1, −10/3)
प्रश्न 12.
उस त्रिभुज का केन्द्रक ज्ञात कीजिए,
जिसके शीर्ष (7,5), (5,7) तथा (−3,3) हैं।
केन्द्रक सूत्र :
((x₁+x₂+x₃)/3 , (y₁+y₂+y₃)/3)
x = (7+5−3)/3 = 3
y = (5+7+3)/3 = 5
y = (5+7+3)/3 = 5
उत्तर : (3, 5)
प्रश्न 13.
यदि बिन्दु (1,2), (4,y), (x,6) तथा (3,5) इसी क्रम में
एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों,
तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
समांतर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
मध्य बिन्दु (1,2) और (x,6) का =
((1+x)/2 , (2+6)/2)
((1+x)/2 , (2+6)/2)
मध्य बिन्दु (4,y) और (3,5) का =
((4+3)/2 , (y+5)/2)
((4+3)/2 , (y+5)/2)
समान करने पर:
(1+x)/2 = 7/2 ⇒ x = 6
(8)/2 = (y+5)/2 ⇒ y = 3
(1+x)/2 = 7/2 ⇒ x = 6
(8)/2 = (y+5)/2 ⇒ y = 3
उत्तर : x = 6 , y = 3
प्रश्न 14.
बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए,
जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है,
जिसका केन्द्र (2,3) है तथा
B के निर्देशांक (1,4) हैं।
व्यास का मध्य बिंदु = वृत्त का केन्द्र
मान लें A(x,y)
( x+1 )/2 = 2 ⇒ x = 3
( y+4 )/2 = 3 ⇒ y = 10
( y+4 )/2 = 3 ⇒ y = 10
उत्तर : (3, 10)
प्रश्न 15.
यदि A(−2,2) तथा B(2,4) हों,
तो बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए,
यदि P, AB पर इस प्रकार स्थित हो कि
AP = (3/7) AB
AP : PB = 3 : 4
x = (3×2 + 4×(−2))/7 = −2/7
y = (3×4 + 4×2)/7 = −20/7
y = (3×4 + 4×2)/7 = −20/7
उत्तर : (−2/7 , −20/7)
प्रश्न 16.
बिन्दुओं A(−2,2) तथा B(2,8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में
विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
विभाजन बिन्दु सूत्र :
यदि n बराबर भाग हैं, तो प्रत्येक बिन्दु = ( (n-i)/n x₁ + i/n x₂ , (n-i)/n y₁ + i/n y₂ )
यदि n बराबर भाग हैं, तो प्रत्येक बिन्दु = ( (n-i)/n x₁ + i/n x₂ , (n-i)/n y₁ + i/n y₂ )
i = 1:
x = (3/4 * (−2)) + (1/4 * 2) = −3/2 + 1/2 = −1
y = (3/4 * 2) + (1/4 * 8) = 3/2 + 2 = 7/2
x = (3/4 * (−2)) + (1/4 * 2) = −3/2 + 1/2 = −1
y = (3/4 * 2) + (1/4 * 8) = 3/2 + 2 = 7/2
i = 2:
x = (2/4 * (−2)) + (2/4 * 2) = −1 + 1 = 0
y = (2/4 * 2) + (2/4 * 8) = 1 + 4 = 5
x = (2/4 * (−2)) + (2/4 * 2) = −1 + 1 = 0
y = (2/4 * 2) + (2/4 * 8) = 1 + 4 = 5
i = 3:
x = (1/4 * (−2)) + (3/4 * 2) = −1/2 + 3/2 = 1
y = (1/4 * 2) + (3/4 * 8) = 1/2 + 6 = 13/2
x = (1/4 * (−2)) + (3/4 * 2) = −1/2 + 3/2 = 1
y = (1/4 * 2) + (3/4 * 8) = 1/2 + 6 = 13/2
उत्तर : (−1, 7/2), (0,5), (1, 13/2)
प्रश्न 17.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके शीर्ष (3,0), (4,5), (−1,4), (2,1) हैं।
समचतुर्भुज क्षेत्रफल सूत्र = 1/2 × ( विकर्णों का गुणनफल )
आकृति के विकर्णों के गुणनफल : AC और BD
आकृति के विकर्णों के गुणनफल : AC और BD
AC = (3,0) → (−1,4)
BD = (4,5) → (2,1)
BD = (4,5) → (2,1)
क्षेत्रफल = 1/2 × |(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) − (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₄ + y₄x₁)|
= 24 वर्ग मात्रक
= 24 वर्ग मात्रक
उत्तर : 24 वर्ग मात्रक
प्रश्न 18.
एक त्रिभुज के दो शीर्ष (3,10) तथा (4,6) हैं।
यदि त्रिभुज का केन्द्रक (13,10) है, तो तीसरा शीर्ष ज्ञात कीजिए।
केन्द्रक सूत्र :
(x₁+x₂+x₃)/3 = 13 ⇒ x₃ = 13*3 − 3 −4 = 32
(y₁+y₂+y₃)/3 = 10 ⇒ y₃ = 10*3 − 10 −6 = 14
(x₁+x₂+x₃)/3 = 13 ⇒ x₃ = 13*3 − 3 −4 = 32
(y₁+y₂+y₃)/3 = 10 ⇒ y₃ = 10*3 − 10 −6 = 14
उत्तर : (32, 14)
प्रश्न 19.
बिन्दु (3,6) और (x,y) से खींचे जाने वाले रेखाखण्ड को 2:3 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
माना अनुपात m:n = 2:3
सूत्र: x = (m*x₂ + n*x₁)/(m+n) , y = (m*y₂ + n*y₁)/(m+n)
सूत्र: x = (m*x₂ + n*x₁)/(m+n) , y = (m*y₂ + n*y₁)/(m+n)
(1/5, 34/5) दिया गया है
इससे x और y ज्ञात:
x = ? , y = ?
इससे x और y ज्ञात:
x = ? , y = ?
उत्तर : x = −4 , y = 8
प्रश्न 20.
बिन्दु (3,4) और (7,11) से खींचे गए रेखाखण्ड को बिन्दु (11,18) किस अनुपात में विभक्त करता है?
माना अनुपात m:n = ?
सूत्र: x = (n*x₁ + m*x₂)/(m+n) , y = (n*y₁ + m*y₂)/(m+n)
सूत्र: x = (n*x₁ + m*x₂)/(m+n) , y = (n*y₁ + m*y₂)/(m+n)
11 = (n*3 + m*7)/(m+n)
18 = (n*4 + m*11)/(m+n)
18 = (n*4 + m*11)/(m+n)
समीकरण हल करने पर: m:n = 2:1
उत्तर : 2:1, बाह्यतः
प्रश्न 21.
एक रेखा x-अक्ष और y-अक्ष को क्रमशः बिन्दुओं P तथा Q पर प्रतिच्छेद करती है।
यदि बिन्दु (2,5), PQ का मध्य बिन्दु हो, तो P तथा Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
मध्य बिन्दु सूत्र : ( (x_P + x_Q)/2 , (y_P + y_Q)/2 ) = (2,5)
x_P + x_Q = 4 , y_P + y_Q = 10
x_P = ?, y_Q = ?
x_P = ?, y_Q = ?
P(x,0) और Q(0,y) होने पर:
x + 0 = 4 ⇒ x = 4
0 + y = 10 ⇒ y = 10
x + 0 = 4 ⇒ x = 4
0 + y = 10 ⇒ y = 10
उत्तर : P(0, −10) , Q(4,0)
प्रश्न 22.
बिन्दुओं (−3,10) और (5,4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के मध्य बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
मध्य बिन्दु सूत्र : ((x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2)
x = (−3+5)/2 = 2/2 = 1
y = (10+4)/2 = 14/2 = 7
y = (10+4)/2 = 14/2 = 7
उत्तर : (1,7)
प्रश्न 23.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (4,−3) तथा (8,5) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को 3:1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है।
सूत्र : (m*x₂ + n*x₁)/(m+n) , (m*y₂ + n*y₁)/(m+n)
m:n = 3:1
m:n = 3:1
x = (3*8 + 1*4)/(3+1) = (24+4)/4 = 28/4 = 7
y = (3*5 + 1*−3)/4 = (15−3)/4 = 12/4 = 3
y = (3*5 + 1*−3)/4 = (15−3)/4 = 12/4 = 3
उत्तर : (7,3)