Excerise 10.1
प्रश्न 1:
दिए गए चित्र में, वृत्त का केंद्र O है। बिंदु P पर वृत्त की स्पर्श रेखा PQ है। यदि PQ = 8 सेमी तथा OQ = 10 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या की माप ज्ञात कीजिए।
समीकरण और समाधान:
त्रिभुज OQP समकोण त्रिभुज है (PQ ⟂ OQ)।
त्रिज्या OP = √(OQ² - PQ²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6 सेमी
उत्तर: 6 सेमी
प्रश्न 2:
यदि PQ वृत्त को एक स्पर्श रेखा है जिसका केंद्र O तथा त्रिज्या 2 सेमी है, एवं ∠PQO = 60°, तब स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
समीकरण और समाधान:
त्रिज्या r = 2 सेमी, ∠PQO = 60°
त्रिभुज OPQ समकोण त्रिभुज है।
PQ = OP * √3 = 2 * √3 = 2√3 सेमी
उत्तर: PQ = 2√3 सेमी
प्रश्न 3:
दो गई आकृति में, एक वृत्त की जीवा PQ तथा स्पर्श रेखा PT है। यदि ∠QPT = 60°, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।
समीकरण और समाधान:
वृत्त के स्पर्श रेखा PT और PQ की सहायता से ∠PRQ = 180° - 60° = 120°
उत्तर: 120°
प्रश्न 4:
चित्र में, वृत्त का केंद्र O है तथा TPT वृत्त की बिंदु P पर स्पर्श रेखा है। यदि ∠QPT = 65°, तो ∠POQ का माप क्या होगा?
समीकरण और समाधान:
वृत्त में स्पर्श रेखा और त्रिज्या का सम्बन्ध: ∠OQP = 90°
त्रिभुज OPQ में ∠QPT = 65° → ∠POQ = 2 × 65° = 130°
उत्तर: ∠POQ = 130°
प्रश्न 5:
एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?
उत्तर: अपरिमित रूप से अनेक
प्रश्न 6:
रिक्त स्थानों को पूरी कीजिए—
- किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उस _______ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
- वृत्त की दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को _______ कहते हैं।
- एक वृत्त की _______ समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
- वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उपयुक्त बिंदु को _______ कहते हैं।
उत्तर:
- एक
- छेदक रेखा
- दो
- स्पर्श बिंदु
प्रश्न 7:
5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली रेखा Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लंबाई ज्ञात कीजिए।
समीकरण और समाधान:
त्रिभुज OPQ समकोण त्रिभुज है (PQ ⟂ OQ)।
PQ = √(OQ² - OP²) = √(12² - 5²) = √(144 - 25) = √119
उत्तर: √119 सेमी
प्रश्न 9:
यदि TP एक स्पर्श रेखा है और लंबाई ज्ञात करनी हो।
समीकरण और समाधान:
त्रिज्या r = 5 सेमी, OQ = ? (चित्र अनुसार) और PQ = ?
TP = 20/3 सेमी
उत्तर: 20/3 सेमी
प्रश्न 10:
OB = 5 सेमी, O वृत्त का केंद्र, OD त्रिज्या। स्पर्श रेखा BC की लंबाई ज्ञात कीजिए।
समीकरण और समाधान:
त्रिज्या r = 4 सेमी, BC = 4 सेमी (गणना चित्र अनुसार)
उत्तर: 4 सेमी
प्रश्न 11:
यदि ∠OAB = 60°, वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
समीकरण और समाधान:
त्रिज्या r = 3√3 सेमी
उत्तर: 3√3 सेमी
प्रश्न 12:
AB = 4 सेमी, वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी। BC की लंबाई ज्ञात कीजिए।
समीकरण और समाधान:
त्रिभुज ABO में, BC = 8 सेमी
उत्तर: 8 सेमी
Exercise - 10.2
प्रश्न 1
एक 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का केंद्र O है। बिंदु T इस प्रकार है कि OT = 13 सेमी है। यदि रेखा TA, बिंदु A पर वृत्त की स्पर्श रेखा है, तो AT की लंबाई ज्ञात कीजिए।
दिया है:
त्रिज्या (OA) = 5 सेमी
OT = 13 सेमी
सिद्धांत:
स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।
सूत्र:
AT² = OT² − OA²
गणना:
AT² = 13² − 5²
AT² = 169 − 25
AT² = 144
AT = √144 = 12 सेमी
उत्तर: AT = 12 सेमी
प्रश्न 2
बिंदु X से वृत्त C(O, r) पर स्पर्श रेखाएँ XA और XB खींची गई हैं। यदि स्पर्श रेखाएँ किसी बिंदु M पर खींची गई रेखाओं को क्रमशः बिंदुओं K और N पर काटती हैं, तो सिद्ध कीजिए कि KM + MN = AK + BN
सिद्धांत:
किसी बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
गणना:
XK = XA − AK
XN = XB − BN
XA = XB ⇒ XK + AK = XN + BN
अतः सिद्ध हुआ कि KM + MN = AK + BN
प्रश्न 3
सिद्ध कीजिए कि दो संकेन्द्रीय वृत्तों में बड़े वृत्त की जीवा जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है।
सिद्धांत:
केंद्र से खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।
अतः जीवा स्पर्श बिंदु पर समद्विभाजित होती है।
प्रश्न 4
AB एक रेखाखंड है और M इसका मध्य बिंदु है। AB, MB और MA को स्पर्श करती हुई एक वृत्त खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि r = (1/6) AB
सिद्धांत:
समान स्पर्श रेखाओं के गुणधर्म।
सिद्ध हुआ कि r = 1/6 AB
प्रश्न 5
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर समान्तर होती हैं।
कारण:
दोनों स्पर्श रेखाएँ त्रिज्या पर लम्ब होती हैं।
अतः दोनों स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं।
प्रश्न 6
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
कारण:
स्पर्श रेखा और त्रिज्या परस्पर लम्ब होती हैं।
सिद्ध
प्रश्न 7
एक बिंदु A से, जो एक वृत्त के केंद्र से 5 सेमी दूर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
सूत्र:
AT² = AO² − r²
गणना:
4² = 5² − r²
16 = 25 − r²
r² = 9 ⇒ r = 3 सेमी
उत्तर: 3 सेमी
प्रश्न 8
दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।
सूत्र:
जीवा = 2√(R² − r²)
गणना:
= 2√(25 − 9)
= 2√16 = 8 सेमी
उत्तर: 8 सेमी
प्रश्न 9
एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि AB + CD = AD + BC
कारण:
बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
सिद्ध
प्रश्न 10
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच बना कोण, स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का सम्पूरक होता है।
सिद्ध
प्रश्न 11
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
सिद्ध
प्रश्न 12
4 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC खींचा गया है। यदि BD = 8 सेमी तथा DC = 6 सेमी हो, तो AB और AC ज्ञात कीजिए।
गणना:
AB = 15 सेमी
AC = 13 सेमी
उत्तर: AB = 15 सेमी, AC = 13 सेमी
प्रश्न 13
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केंद्र पर सम्पूरक कोण अंतरित करती हैं।
सिद्ध
प्रश्न 14
तीन वृत्त जिनके केंद्र क्रमशः A, B, C हैं, एक-दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करते हैं। यदि AB = 7 सेमी, BC = 5 सेमी और CA = 6 सेमी हो, तो इन वृत्तों की त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
r₁ = 4 सेमी, r₂ = 3 सेमी, r₃ = 2 सेमी
प्रश्न 15
यदि ∠AOB = 110° हो, तो ∠APB तथा ∠ABQ ज्ञात कीजिए।
सूत्र:
परिधि कोण = ½ × केंद्र कोण
गणना:
= 110° / 2 = 55°
उत्तर: ∠APB = ∠ABQ = 55°
प्रश्न 16
दिए गए चित्र में ∠QRP ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 40°
प्रश्न 17
यदि ∠AOB = 100° हो, तो ∠APO ज्ञात कीजिए।
सूत्र:
∠APO = (180° − ∠AOB) / 2
गणना:
= (180 − 100) / 2 = 40°
उत्तर: 40°
प्रश्न 18
यदि किसी वृत्त पर बाह्य बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° का कोण बनाती हैं, तो ∠POA ज्ञात कीजिए।
सूत्र:
∠POA = 90° − (θ / 2)
गणना:
= 90 − 40 = 50°
उत्तर: 50°