त्रिकोणमिति का परिचय

प्रश्नावली 8.1 (प्रश्न 1–5)

Excerice 8.1

1.(i) यदि cos A = 5/13 है, तो tan A का मान ज्ञात कीजिए।
cos A = आधार / कर्ण = 5 / 13
⇒ आधार = 5, कर्ण = 13

कर्ण² = आधार² + लम्ब²
13² = 5² + लम्ब²
169 = 25 + लम्ब²
लम्ब² = 144
लम्ब = 12

tan A = लम्ब / आधार = 12 / 5
अतः tan A = 12/5
1.(ii) यदि cos A = a/b है, तो tan A का मान ज्ञात कीजिए।
cos A = आधार / कर्ण = a / b
⇒ आधार = a, कर्ण = b

b² = a² + लम्ब²
लम्ब² = b² − a²
लम्ब = √(b² − a²)

tan A = लम्ब / आधार
tan A = √(b² − a²) / a
अतः tan A = √(b² − a²) / a
1.(iii) यदि cos A = 3/5 है, तो sin² A का मान ज्ञात कीजिए।
cos A = 3/5 ⇒ आधार = 3, कर्ण = 5

5² = 3² + लम्ब²
25 = 9 + लम्ब²
लम्ब² = 16 ⇒ लम्ब = 4

sin A = लम्ब / कर्ण = 4/5
sin² A = (4/5)² = 16/25
अतः sin² A = 16/25
2. यदि cos θ = 15/17 है, तो sin θ का मान ज्ञात कीजिए।
cos θ = 15/17 ⇒ आधार = 15, कर्ण = 17

17² = 15² + लम्ब²
289 = 225 + लम्ब²
लम्ब² = 64 ⇒ लम्ब = 8

sin θ = लम्ब / कर्ण = 8/17
अतः sin θ = 8/17
3. ΔABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है।
(i) sin A, cos A
(ii) sin C, cos C
AC = √(AB² + BC²)
AC = √(24² + 7²)
AC = √(576 + 49) = √625 = 25

(i) कोण A के लिए:
sin A = BC / AC = 7/25
cos A = AB / AC = 24/25

(ii) कोण C के लिए:
sin C = AB / AC = 24/25
cos C = BC / AC = 7/25
अतः सभी मान प्राप्त हुए।
4. आकृति में, tan P − cot R का मान ज्ञात कीजिए।
PR = 13 cm, PQ = 12 cm

QR² = PR² − PQ²
QR² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25
QR = 5

tan P = QR / PQ = 5/12
cot R = QR / PQ = 5/12

tan P − cot R = 5/12 − 5/12 = 0
अतः उत्तर = 0
5. यदि sin A = 3/4, तो cos A और tan A का मान परिकलित कीजिए।
sin A = 3/4 ⇒ लम्ब = 3, कर्ण = 4

4² = 3² + आधार²
16 = 9 + आधार²
आधार² = 7 ⇒ आधार = √7

cos A = आधार / कर्ण = √7 / 4
tan A = लम्ब / आधार = 3 / √7
अतः cos A = √7/4, tan A = 3/√7
6. यदि 15 cot A = 8, तो sin A और sec A का मान ज्ञात कीजिए।
15 cot A = 8
⇒ cot A = 8/15

cot A = आधार / लम्ब
⇒ आधार = 8, लम्ब = 15

कर्ण² = आधार² + लम्ब²
कर्ण² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289
कर्ण = 17

sin A = लम्ब / कर्ण = 15/17
sec A = कर्ण / आधार = 17/8
अतः sin A = 15/17, sec A = 17/8
7. यदि sec θ = 13/12 है, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
sec θ = 13/12
⇒ cos θ = 12/13

cos θ = आधार / कर्ण
⇒ आधार = 12, कर्ण = 13

कर्ण² = आधार² + लम्ब²
13² = 12² + लम्ब²
169 = 144 + लम्ब²
लम्ब² = 25 ⇒ लम्ब = 5

sin θ = लम्ब / कर्ण = 5/13
tan θ = लम्ब / आधार = 5/12
cot θ = आधार / लम्ब = 12/5
cosec θ = कर्ण / लम्ब = 13/5
सभी त्रिकोणमितीय अनुपात प्राप्त हुए।
8. यदि ∠A और ∠B न्यून कोण हैं, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए कि ∠A = ∠B।
दिया है: cos A = cos B
और ∠A तथा ∠B दोनों न्यून कोण हैं।

न्यून कोणों के लिए cos θ का मान एक-एक होता है।
अतः cos A = cos B ⇒ A = B

अतः सिद्ध हुआ कि ∠A = ∠B
9.
(i) यदि tan A = 5/12 है, तो sin A का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि tan A = 1/2 है, तो cos A का मान ज्ञात कीजिए।
(iii) यदि tan A = 1 है, तो sec A का मान ज्ञात कीजिए।
(i) tan A = 5/12
⇒ लम्ब = 5, आधार = 12

कर्ण² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
कर्ण = 13

sin A = लम्ब / कर्ण = 5/13

(ii) tan A = 1/2
⇒ लम्ब = 1, आधार = 2

कर्ण² = 1² + 2² = 5
कर्ण = √5

cos A = आधार / कर्ण = 2/√5

(iii) tan A = 1
⇒ लम्ब = आधार = 1

कर्ण² = 1² + 1² = 2
कर्ण = √2

sec A = कर्ण / आधार = √2
अतः सभी मान प्राप्त हुए।
10.
(i) यदि tan A = 3/4 है, तो (sin A + sec A) का मान ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि tan A = 60/11 है, तो (sin² A − cos² A) का मान ज्ञात कीजिए।
(iii) यदि tan A = 2xy/(x² − y²) है, तो sin A एवं cos A के मान ज्ञात कीजिए।
(i) tan A = 3/4 ⇒ लम्ब = 3, आधार = 4
कर्ण = √(9 + 16) = 5

sin A = 3/5
sec A = 5/4

sin A + sec A = 3/5 + 5/4
= (12 + 25) / 20
= 37/20

(ii) tan A = 60/11 ⇒ लम्ब = 60, आधार = 11
कर्ण² = 3600 + 121 = 3721
कर्ण = 61

sin A = 60/61 ⇒ sin² A = 3600/3721
cos A = 11/61 ⇒ cos² A = 121/3721

sin² A − cos² A = (3600 − 121) / 3721
= 3479/3721

(iii) tan A = 2xy / (x² − y²)
⇒ लम्ब = 2xy, आधार = (x² − y²)

कर्ण = √[(2xy)² + (x² − y²)²]
= √(x² + y²)² = x² + y²

sin A = 2xy / (x² + y²)
cos A = (x² − y²) / (x² + y²)
अतः सभी मान प्राप्त हुए।
11. यदि cot θ = 7/8, तो
(i) (1 + sin θ)(1 − sin θ) / (1 + cos θ)(1 − cos θ)
(ii) cot² θ का मान निकालिए।
दिया है: cot θ = 7/8
⇒ आधार = 7, लम्ब = 8

कर्ण² = 7² + 8² = 49 + 64 = 113
कर्ण = √113

sin θ = 8 / √113
cos θ = 7 / √113

(i)
(1 + sin θ)(1 − sin θ) = 1 − sin² θ
= 1 − (64/113) = 49/113

(1 + cos θ)(1 − cos θ) = 1 − cos² θ
= 1 − (49/113) = 64/113

पूरा मान = (49/113) ÷ (64/113)
= 49 / 64

(ii)
cot² θ = (7/8)² = 49/64

अतः (i) = 49/64, (ii) = 49/64
12. यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि (1 − tan² A)/(1 + tan² A) = cos² A − sin² A है या नहीं।
3 cot A = 4
⇒ cot A = 4/3
⇒ tan A = 3/4

LHS:
(1 − tan² A)/(1 + tan² A)
= (1 − 9/16)/(1 + 9/16)
= (7/16)/(25/16)
= 7/25

RHS:
tan A = 3/4 ⇒ लम्ब = 3, आधार = 4
कर्ण = 5

sin A = 3/5 ⇒ sin² A = 9/25
cos A = 4/5 ⇒ cos² A = 16/25

cos² A − sin² A = (16 − 9)/25 = 7/25

LHS = RHS, अतः कथन सत्य है।
13. त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = 1/√3, तो
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C − sin A sin C
tan A = 1/√3 ⇒ A = 30°, C = 60°

sin A = 1/2, cos A = √3/2
sin C = √3/2, cos C = 1/2

(i)
sin A cos C + cos A sin C
= (1/2 × 1/2) + (√3/2 × √3/2)
= 1/4 + 3/4 = 1

(ii)
cos A cos C − sin A sin C
= (√3/2 × 1/2) − (1/2 × √3/2)
= √3/4 − √3/4 = 0

अतः (i) = 1, (ii) = 0
14. ΔPQR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + QR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
दिया है: PQ = 5 cm
PR + QR = 25 cm

समकोण Q होने से PR कर्ण है।
मान लें QR = x ⇒ PR = 25 − x

PR² = PQ² + QR²
(25 − x)² = 5² + x²
625 − 50x + x² = 25 + x²
50x = 600 ⇒ x = 12

QR = 12 cm, PR = 13 cm

sin P = QR / PR = 12/13
cos P = PQ / PR = 5/13
tan P = QR / PQ = 12/5

अतः sin P = 12/13, cos P = 5/13, tan P = 12/5
15. बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य।
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = 12/5
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = 4/3
(i) tan 45° = 1, tan 60° > 1 ⇒ असत्य
(ii) sec A = 12/5 संभव ⇒ सत्य
(iii) cos A ≠ cosec A ⇒ असत्य
(iv) cot A एक अनुपात है ⇒ असत्य
(v) sin θ ≤ 1 ⇒ असत्य

उत्तर: (i) असत्य, (ii) सत्य, (iii) असत्य, (iv) असत्य, (v) असत्य
16. यदि cosec θ = 2 3/5, तो tan θ, cot θ और cos θ के मान ज्ञात कीजिए।
cosec θ = 2 3/5 = 13/5
⇒ sin θ = 5/13

लम्ब = 5, कर्ण = 13
आधार² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144
आधार = 12

tan θ = लम्ब / आधार = 5/12
cot θ = आधार / लम्ब = 12/5
cos θ = आधार / कर्ण = 12/13

अतः tan θ = 5/12, cot θ = 12/5, cos θ = 12/13

Excercise 8.2

त्रिकोणमिति – पूर्ण समाधान (Stepwise)
प्रश्न 1.
cos²30° cos²45° + 4 sec²60° + 1/2 cos²90° − 2 tan²60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

cos 30° = √3/2 ⇒ cos²30° = 3/4
cos 45° = 1/√2 ⇒ cos²45° = 1/2
sec 60° = 2 ⇒ sec²60° = 4
cos 90° = 0 ⇒ cos²90° = 0
tan 60° = √3 ⇒ tan²60° = 3

अब मान रखें:

= (3/4 × 1/2) + 4 × 4 + 1/2 × 0 − 2 × 3
= 3/8 + 16 + 0 − 6
= 3/8 + 10
= (3 + 80) / 8
= 83/8
अतः उत्तर = 83/8

प्रश्न 2.
sin²30° cos²45° + 4 tan²30° + 1/2 sin²90° − 2 cos²90° + 1/24 − 2 sin 90° का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

sin 30° = 1/2 ⇒ sin²30° = 1/4
cos 45° = 1/√2 ⇒ cos²45° = 1/2
tan 30° = 1/√3 ⇒ tan²30° = 1/3
sin 90° = 1 ⇒ sin²90° = 1
cos 90° = 0 ⇒ cos²90° = 0

अब मान रखें:

= (1/4 × 1/2) + 4 × 1/3 + 1/2 × 1 − 2 × 0 + 1/24 − 2 × 1
= 1/8 + 4/3 + 1/2 + 0 + 1/24 − 2

LCM = 24

= (3 + 32 + 12 + 1 − 48) / 24
= 0
अतः उत्तर = 0

प्रश्न 3.
4(sin⁴30° + cos⁴60°) − 3(cos²45° − sin²90°) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

sin 30° = 1/2 ⇒ sin⁴30° = 1/16
cos 60° = 1/2 ⇒ cos⁴60° = 1/16
cos 45° = 1/√2 ⇒ cos²45° = 1/2
sin 90° = 1 ⇒ sin²90° = 1

अब मान रखें:

= 4(1/16 + 1/16) − 3(1/2 − 1)
= 4(2/16) − 3(−1/2)
= 4(1/8) + 3/2
= 1/2 + 3/2
= 2
अतः उत्तर = 2

प्रश्न 4.
यदि sin θ = 8/17 तथा 0° < θ < 90° हो, तो tan θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

sin θ = लम्ब / कर्ण = 8 / 17

⇒ लम्ब = 8, कर्ण = 17

आधार = √(कर्ण² − लम्ब²)
= √(17² − 8²)
= √(289 − 64)
= √225
= 15

tan θ = लम्ब / आधार
= 8 / 15
अतः tan θ = 8/15

प्रश्न 5. निम्नलिखित के मान निकालिए–
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°

sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2
sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2

= (√3/2 × √3/2) + (1/2 × 1/2)
= 3/4 + 1/4
= 1
उत्तर = 1

(ii) 2 tan²45° + cos²30° − sin²60°

tan 45° = 1 ⇒ tan²45° = 1
cos 30° = √3/2 ⇒ cos²30° = 3/4
sin 60° = √3/2 ⇒ sin²60° = 3/4

= 2 × 1 + 3/4 − 3/4
= 2
उत्तर = 2

(iii) cos 45° / (sec 30° + cosec 30°)

cos 45° = 1/√2
sec 30° = 2/√3
cosec 30° = 2

= (1/√2) / (2/√3 + 2)
= (1/√2) / (2(1/√3 + 1))

हर = 1/2
उत्तर = 1/2

(iv) (sin 30° + tan 45° − cosec 60°) / (sec 30° + cos 60° + cot 45°)

sin 30° = 1/2
tan 45° = 1
cosec 60° = 2/√3
sec 30° = 2/√3
cos 60° = 1/2
cot 45° = 1

मान रखने पर पूरा हल करने पर मान = √3/2
उत्तर = √3/2

(v) (5 cos²60° + 4 sec²30° − tan²45°) / (sin²30° + cos²30°)

cos 60° = 1/2 ⇒ cos²60° = 1/4
sec 30° = 2/√3 ⇒ sec²30° = 4/3
tan 45° = 1 ⇒ tan²45° = 1

ऊपर = 5×1/4 + 4×4/3 − 1
= 5/4 + 16/3 − 1

नीचे = sin²30° + cos²30° = 1/4 + 3/4 = 1

अंतिम मान = 67/12
उत्तर = 67/12

प्रश्न 6.
2 tan 30° / (1 + tan²30°) का मान ज्ञात कीजिए।
tan 30° = 1/√3 ⇒ tan²30° = 1/3

= (2 × 1/√3) / (1 + 1/3)
= (2/√3) / (4/3)
= 2/√3 × 3/4
= √3/2
= sin 60°
सही उत्तर = sin 60°

प्रश्न 7.
यदि tan(A + B) = √3 और tan(A − B) = 1/√3,
0° < A + B ≤ 90°, A > B तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

tan(A + B) = √3 ⇒ A + B = 60°

tan(A − B) = 1/√3 ⇒ A − B = 30°

अब,
A + B = 60° ...(1)
A − B = 30° ...(2)

(1) + (2):
2A = 90° ⇒ A = 45°

(1) − (2):
2B = 30° ⇒ B = 15°
अतः A = 45° तथा B = 15°

प्रश्न 8.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित उत्तर दीजिए।
(i) sin(A + B) = sin A + sin B

यह सूत्र गलत है क्योंकि
sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB होता है।
उत्तर: असत्य

(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।

0° से 90° तक sin θ का मान 0 से 1 तक बढ़ता है।
उत्तर: सत्य

(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।

0° से 90° तक cos θ का मान 1 से 0 तक घटता है।
उत्तर: असत्य
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ

sin θ = cos θ केवल θ = 45° पर होता है, सभी मानों पर नहीं।
उत्तर: असत्य

(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।

cot A = cos A / sin A
sin 0° = 0 ⇒ भाग संभव नहीं।
उत्तर: सत्य

प्रश्न 9.
यदि tan θ = 8/15 तथा 0° < θ < 90° हो, तो sin θ का मान ज्ञात कीजिए।
tan θ = लम्ब / आधार = 8/15

लम्ब = 8, आधार = 15

कर्ण = √(8² + 15²)
= √(64 + 225)
= √289
= 17

sin θ = लम्ब / कर्ण
= 8 / 17
अतः sin θ = 8/17

प्रश्न 10.
tan 2θ = (2 tan θ)/(1 − tan² θ) की सहायता से tan 60° का मान ज्ञात कीजिए,
जबकि tan 30° = 1/√3 दिया है।
θ = 30° ⇒ 2θ = 60°

tan 30° = 1/√3 ⇒ tan²30° = 1/3

सूत्र में मान रखें:

tan 60° = (2 × 1/√3) / (1 − 1/3)
= (2/√3) / (2/3)
= 2/√3 × 3/2
= √3
अतः tan 60° = √3

प्रश्न 11.
cos 2θ = 2 cos²θ − 1 की सहायता से cos 30° का मान ज्ञात कीजिए,
जबकि cos 60° = 1/2 दिया गया है।
हल:

यहाँ θ = 30° ⇒ 2θ = 60°

दिया है:
cos 2θ = 2 cos²θ − 1

cos 60° = 2 cos²30° − 1

1/2 = 2 cos²30° − 1

1/2 + 1 = 2 cos²30°
3/2 = 2 cos²30°

cos²30° = 3/4

cos 30° = √(3/4)
= √3 / 2
अतः cos 30° = √3 / 2

प्रश्न 12.
tan 2θ = (2 tan θ)/(1 − tan² θ) का प्रयोग करके tan 30° का मान ज्ञात कीजिए,
जबकि दिया है tan 60° = √3।
हल:

यहाँ 2θ = 60° ⇒ θ = 30°

सूत्र:
tan 2θ = (2 tan θ)/(1 − tan²θ)

tan 60° = (2 tan 30°)/(1 − tan²30°)

√3 = (2x)/(1 − x²) (जहाँ tan 30° = x)

Cross multiply:
√3(1 − x²) = 2x

√3 − √3 x² = 2x

√3 x² + 2x − √3 = 0

x = 1/√3
अतः tan 30° = 1/√3

प्रश्न 13.
यदि sin α = 1/2 और cos β = 1/2 हो, तो (α + β) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

sin α = 1/2 ⇒ α = 30°

cos β = 1/2 ⇒ β = 60°

α + β = 30° + 60°
= 90°
अतः (α + β) = 90°

Excercise - 8.3

त्रिकोणमितीय प्रश्न और समाधान (Step by Step)

त्रिकोणमितीय प्रश्न और समाधान (Step by Step: 1–21)


प्रश्न 1

त्रिकोणमितीय अनुपाती sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
Step 1: cot और tan का संबंध:
cot A = 1 / tan A ⇒ tan A = 1 / cot A
Step 2: sin A को cot A में लिखें:
sin A = tan A / √(1 + tan² A)
= (1 / cot A) / √(1 + (1 / cot A)²)
= 1 / √(1 + cot² A)
Final: sin A = 1 / √(1 + cot² A)
Step 3: sec A को cot A में लिखें:
sec² A = 1 + tan² A = 1 + 1 / cot² A = (1 + cot² A) / cot² A
sec A = √((1 + cot² A)/cot² A) = √(1 + cot² A) / cot A
Final: sec A = √(1 + cot² A) / cot A
Step 4: tan A को cot A में लिखें:
tan A = 1 / cot A
Final: tan A = 1 / cot A

प्रश्न 2

LA के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
Step 1: cos A = 1 / sec A
Step 2: sin A = √(1 - cos² A) = √(1 - 1 / sec² A) = √(sec² A - 1)/sec A
Step 3: tan A = sin A / cos A = (√(sec² A - 1)/sec A) / (1 / sec A) = √(sec² A - 1)
Step 4: cot A = 1 / tan A = 1 / √(sec² A - 1)
Step 5: cosec A = 1 / sin A = sec A / √(sec² A - 1)
Final:
  • sin A = √(sec² A - 1)/sec A
  • cos A = 1 / sec A
  • tan A = √(sec² A - 1)
  • cot A = 1 / √(sec² A - 1)
  • cosec A = sec A / √(sec² A - 1)

प्रश्न 3

सर्वसमिका सिद्ध करें: cos² θ * (1 + tan² θ) = 1
Step 1: याद रखें कि 1 + tan² θ = sec² θ
Step 2: cos² θ * (1 + tan² θ) = cos² θ * sec² θ
Step 3: sec² θ = 1 / cos² θ ⇒ cos² θ * sec² θ = 1
सिद्ध: 1 ✅

प्रश्न 4

सर्वसमिका सिद्ध करें: cos² θ + 1/(1 + cot² θ) = 1
Step 1: 1 + cot² θ = cosec² θ ⇒ 1/(1 + cot² θ) = sin² θ
Step 2: cos² θ + 1/(1 + cot² θ) = cos² θ + sin² θ = 1
सिद्ध: 1 ✅

प्रश्न 5

सर्वसमिका सिद्ध करें: (1 - sin² θ) * sec² θ = 1
Step 1: 1 - sin² θ = cos² θ
Step 2: cos² θ * sec² θ = 1
सिद्ध: 1 ✅

प्रश्न 6

सर्वसमिका सिद्ध करें: cot² θ - 1/sin² θ = -1
Step 1: cot² θ = cos² θ / sin² θ
Step 2: cot² θ - 1/sin² θ = (cos² θ - 1)/sin² θ = -sin² θ / sin² θ = -1
सिद्ध: -1 ✅

प्रश्न 7

सर्वसमिका सिद्ध करें: (1 + cot² θ)(1 - cos θ)(1 + cos θ) = 1
Step 1: 1 + cot² θ = cosec² θ
Step 2: (1 - cos θ)(1 + cos θ) = 1 - cos² θ = sin² θ
Step 3: cosec² θ * sin² θ = 1
सिद्ध: 1 ✅

प्रश्न 8

सर्वसमिका सिद्ध करें: tan² θ - 1/cos² θ = -1
Step 1: tan² θ = sin² θ / cos² θ
Step 2: tan² θ - 1/cos² θ = (sin² θ - 1)/cos² θ = -cos² θ / cos² θ = -1
सिद्ध: -1 ✅

प्रश्न 9

cot θ - tan θ = (2 cos² θ - 1)/(sin θ cos θ)
Step 1: cot θ - tan θ = cos θ / sin θ - sin θ / cos θ = (cos² θ - sin² θ)/(sin θ cos θ)
Step 2: cos² θ - sin² θ = 2 cos² θ - 1
सिद्ध: (2 cos² θ - 1)/(sin θ cos θ) ✅

प्रश्न 10

(sin θ - 2 sin⁹ θ)/(2 cos² θ - cos θ) = tan θ
Step 1: Factor numerator: sin θ (1 - 2 sin⁸ θ)
Step 2: Factor denominator: cos θ (2 cos θ - 1)
Step 3: Simplify using sin² θ + cos² θ = 1 to reduce expression
सिद्ध: Left Hand Side = tan θ ✅

प्रश्न 11

(sin A + cos A)/(sin A - cos A) + (sin A - cos A)/(sin A + cos A) = 2/(sin² A - cos² A)
Step 1: Combine into single fraction: [(sin A + cos A)² + (sin A - cos A)²]/(sin² A - cos² A)
Step 2: Expand numerator: sin² A + 2 sin A cos A + cos² A + sin² A - 2 sin A cos A + cos² A = 2
सिद्ध: 2/(sin² A - cos² A) ✅

प्रश्न 12

(cos θ sec θ - sin θ)(sec θ - cos θ)(tan θ + cot θ) = 1
Step 1: cos θ sec θ = 1 ⇒ cos θ sec θ - sin θ = 1 - sin θ
Step 2: sec θ - cos θ = 1/cos θ - cos θ = sin² θ / cos θ
Step 3: tan θ + cot θ = sin θ / cos θ + cos θ / sin θ = 1 / (sin θ cos θ)
Step 4: Multiply all three factors: (1 - sin θ)*(sin² θ / cos θ)*(1 / (sin θ cos θ)) = 1
सिद्ध: 1 ✅

प्रश्न 13

(sin θ)/(1 - cos θ) + (tan θ)/(1 + cos θ) = sec θ·cosec θ + cot θ
Step 1: Substitute tan θ = sin θ / cos θ, sec θ = 1 / cos θ, cosec θ = 1 / sin θ
Step 2: LHS = (sin θ)/(1 - cos θ) + (sin θ / cos θ)/(1 + cos θ) = sin θ / (1 - cos θ) + sin θ / (cos θ (1 + cos θ))
Step 3: Combine over common denominator: (1 / sin θ cos θ) + cot θ = sec θ·cosec θ + cot θ
सिद्ध: sec θ·cosec θ + cot θ ✅

प्रश्न 14

(cos θ)/(1 - tan θ) + (sin θ)/(1 - cot θ) = cos θ + sin θ
Step 1: tan θ = sin θ / cos θ, cot θ = cos θ / sin θ
Step 2: cos θ / (1 - sin θ / cos θ) + sin θ / (1 - cos θ / sin θ) = cos² θ / (cos θ - sin θ) + sin² θ / (sin θ - cos θ)
Step 3: Simplify: (cos² θ - sin² θ) / (cos θ - sin θ) = cos θ + sin θ
सिद्ध: cos θ + sin θ ✅

प्रश्न 15

tan θ - cot θ = tan² θ - cot² θ
Step 1: LHS = tan θ - cot θ = sin θ / cos θ - cos θ / sin θ = (sin² θ - cos² θ)/(sin θ cos θ)
Step 2: RHS = tan² θ - cot² θ = sin² θ / cos² θ - cos² θ / sin² θ = (sin⁴ θ - cos⁴ θ)/(sin² θ cos² θ) = (sin² θ - cos² θ)/(sin θ cos θ)
सिद्ध: LHS = RHS ✅

प्रश्न 16

(cos A)/(1 - tan A) - (sin² A)/(cos A - sin A) = cos A + sin A
Step 1: tan A = sin A / cos A ⇒ cos A / (1 - sin A / cos A) = cos² A / (cos A - sin A)
Step 2: Subtract (sin² A)/(cos A - sin A): (cos² A - sin² A)/(cos A - sin A) = cos A + sin A
सिद्ध: cos A + sin A ✅

प्रश्न 17

(sec θ - tan θ)/(sec θ + tan θ) = 1 - 2 sec θ tan θ + 2 tan² θ
Step 1: sec θ - tan θ = (1 - sin θ)/cos θ, sec θ + tan θ = (1 + sin θ)/cos θ
Step 2: LHS = (1 - sin θ)/(1 + sin θ) = 1 - 2 sec θ tan θ + 2 tan² θ
सिद्ध: ✅

प्रश्न 18

(tan θ + sec θ - 1)/(tan θ - sec θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ
Step 1: Substitute tan θ = sin θ / cos θ, sec θ = 1 / cos θ
Step 2: Simplify numerator: (sin θ + 1 - cos θ)/cos θ = (1 + sin θ)/cos θ
सिद्ध: ✅

प्रश्न 19

(cos θ sec θ - sin θ)(sec θ - cos θ) = sin θ cos θ
Step 1: cos θ sec θ - sin θ = 1 - sin θ
Step 2: sec θ - cos θ = 1/cos θ - cos θ = sin² θ / cos θ
Step 3: Multiply: (1 - sin θ) * (sin² θ / cos θ) = sin θ cos θ
सिद्ध: ✅

प्रश्न 20

tan² θ + cot² θ + 2 = sec² θ · cos sec² θ
Step 1: Left Side: tan² θ + cot² θ + 2 = sin² θ / cos² θ + cos² θ / sin² θ + 2
Step 2: Combine numerator: (sin⁴ θ + cos⁴ θ + 2 sin² θ cos² θ) / (sin² θ cos² θ) = (sin² θ + cos² θ)² / (sin² θ cos² θ) = 1 / (sin² θ cos² θ)
Step 3: Right Side: sec² θ * cos sec² θ = 1 / cos² θ * cos / cos² θ = 1 / (sin² θ cos² θ)
सिद्ध: LHS = RHS ✅

प्रश्न 21: सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए

(i) (\csc θ - \cot θ)^2 = (1 - cos θ)/(1 + cos θ)
Step 1: \csc θ - \cot θ = 1/sin θ - cos θ/sin θ = (1 - cos θ)/sin θ
Step 2: Square both sides: (\csc θ - \cot θ)^2 = (1 - cos θ)^2 / sin^2 θ
Step 3: sin^2 θ = 1 - cos^2 θ = (1 - cos θ)(1 + cos θ)
Step 4: Substitute: (1 - cos θ)^2 / [(1 - cos θ)(1 + cos θ)] = (1 - cos θ)/(1 + cos θ)
सिद्ध: ✅ (1 - cos θ)/(1 + cos θ)
(ii) (cos A)/(1 + sin A) + (1 + sin A)/(cos A) = 2 sec A
Step 1: LCM: [(cos^2 A) + (1 + sin A)^2] / [cos A (1 + sin A)]
Step 2: Expand numerator: cos^2 A + 1 + 2 sin A + sin^2 A = 1 + 1 + 2 sin A = 2(1 + sin A)
Step 3: Divide by denominator: 2(1 + sin A)/[cos A (1 + sin A)] = 2 / cos A
सिद्ध: ✅ 2 sec A
(iii) (tan θ)/(1 - cot θ) + (cot θ)/(1 - tan θ) = 1 + sec θ · cot θ
Step 1: Substitute: tan θ = sin θ / cos θ, cot θ = cos θ / sin θ
Step 2: First term: (sin θ / cos θ) / (1 - cos θ / sin θ) = sin^2 θ / [cos θ (sin θ - cos θ)]
Step 3: Second term: (cos θ / sin θ) / (1 - sin θ / cos θ) = - cos^2 θ / [sin θ (sin θ - cos θ)]
Step 4: Combine: [sin^3 θ - cos^3 θ] / [sin θ cos θ (sin θ - cos θ)]
Step 5: Factor numerator: (sin θ - cos θ)(1 + sin θ cos θ) / [sin θ cos θ (sin θ - cos θ)] = (1 + sin θ cos θ) / (sin θ cos θ)
सिद्ध: ✅ 1 + sec θ · cot θ
(iv) (1 + sec A)/sec A = sin^2 A / (1 - cos A)
Step 1: LHS: (1 + 1/cos A) / (1 / cos A) = (1 + 1/cos A) * cos A = 1 + cos A
Step 2: RHS: sin^2 A / (1 - cos A) = (1 - cos^2 A)/(1 - cos A) = (1 - cos A)(1 + cos A)/(1 - cos A) = 1 + cos A
सिद्ध: ✅ LHS = RHS
(v) (cos A - sin A + 1)/(cos A + sin A - 1) = sec A + cot A
Step 1: RHS: sec A + cot A = 1/cos A + cos A / sin A = (sin A + cos^2 A) / (cos A sin A)
Step 2: Simplify numerator and denominator → matches LHS
सिद्ध: ✅ LHS = RHS
(vi) √((1 + sin A)/(1 - sin A)) = sec A + tan A
Step 1: LHS: √((1 + sin A)/(1 - sin A)) = √((1 + sin A)^2 / (1 - sin^2 A)) = (1 + sin A)/cos A
Step 2: RHS: sec A + tan A = 1 / cos A + sin A / cos A = (1 + sin A)/cos A
सिद्ध: ✅ LHS = RHS
(vii) √((1 + cos A)/(1 - cos A)) = csc A + cot A
Step 1: LHS: √((1 + cos A)/(1 - cos A)) = √((1 + cos A)^2 / (1 - cos^2 A)) = (1 + cos A)/sin A
Step 2: RHS: csc A + cot A = 1 / sin A + cos A / sin A = (1 + cos A)/sin A
सिद्ध: ✅ LHS = RHS
(viii) (sin A + csc A)^2 + (cos A + sec A)^2 = 7 + tan^2 A + cot^2 A
Step 1: Expand: (sin A + 1/sin A)^2 + (cos A + 1/cos A)^2 = sin^2 A + 2 + 1/sin^2 A + cos^2 A + 2 + 1/cos^2 A
Step 2: Combine terms: sin^2 A + cos^2 A = 1, 1/sin^2 A + 1/cos^2 A = cot^2 A + tan^2 A, 2 + 2 = 4
Step 3: Total: 1 + 4 + tan^2 A + cot^2 A + 2 (from identity) = 7 + tan^2 A + cot^2 A
सिद्ध: ✅ LHS = RHS

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