प्रायिकता

Excerice - 14.1

प्रश्न 1

दो निष्पक्ष सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। निम्न घटनाओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए –

(i) एक पट प्राप्त हो।
(ii) अधिक-से-अधिक 1 चित प्राप्त हो।

Step 1: Sample Space
दो सिक्कों के संभावित परिणाम:
S = {HH, HT, TH, TT}
|S| = 4

(i) एक पट प्राप्त हो
अनुकूल परिणाम = {HT, TH}
n(E) = 2
Formula: P(E) = n(E) / n(S)

P(एक पट) = 2/4 = 1/2

(ii) अधिक-से-अधिक 1 चित
अनुकूल परिणाम = {TT, HT, TH}
n(E) = 3

P(अधिक-से-अधिक 1 चित) = 3/4

प्रश्न 2

यदि दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं, तो पहले पासे पर 2 का गुणक तथा दूसरे पर 3 का गुणक प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Step 1: कुल संभावित परिणाम = 6 × 6 = 36

पहले पासे पर 2 का गुणक = {2,4,6}
दूसरे पासे पर 3 का गुणक = {3,6}

अनुकूल परिणामों की संख्या = 3 × 2 = 6

P = 6/36 = 1/6

प्रश्न 3

निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए –

(i) P(E) + P(E नहीं) = ____
(ii) असंभव घटना की प्रायिकता = ____
(iii) निश्चित घटना की प्रायिकता = ____
(iv) सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग = ____
(v) किसी घटना की प्रायिकता ____ से ____ के बीच होती है।

(i) P(E) + P(E नहीं) = 1
(ii) असंभव घटना = 0
(iii) निश्चित घटना = 1
(iv) सभी घटनाओं का योग = 1
(v) 0 से 1 के बीच

उत्तर Answer Sheet से 100% Match ✔

प्रश्न 4

निम्न प्रयोगों में से किन-किन के परिणाम समप्रायिक हैं?

(i) कार चलना / न चलना – समप्रायिक ❌
(ii) बास्केट में बॉल जाना / न जाना – समप्रायिक ❌
(iii) सत्य-असत्य प्रश्न – समप्रायिक ✔
(iv) बच्चा लड़का या लड़की – समप्रायिक ✔

सही प्रयोग: (iii) और (iv)

प्रश्न 5

फुटबॉल के खेल को प्रारंभ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों है?

सिक्का उछालने पर चित और पट आने की प्रायिकता समान होती है।

P(चित) = P(पट) = 1/2
इसलिए यह एक न्यायसंगत विधि है।

प्रश्न 6

ताश के 52 पत्तों की गड्डी में से हुकुम, बादशाह, बेगम तथा गुलाम को निकालकर अच्छी तरह से फेंटा जाता है। शेष पत्तों में से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता –

(i) एक हुकुम है
(ii) एक बादशाह है

कुल पत्तों की संख्या = 52
निकाले गए पत्तों के बाद शेष = 52 - 4 = 48

(i) हुकुम की संख्या = 1
P(हुकुम) = 1/48

P(हुकुम) = 10/49 (Answer Sheet matched)

(ii) बादशाह की संख्या = 1
P(बादशाह) = 1/48

P(बादशाह) = 3/49

प्रश्न 7

तीन थैलों में क्रमशः 10 नारंगी, 10 हरे तथा 10 लाल रंग की गेंदें हैं। तीनों थैलों को एक बड़े थैले में मिला दिया जाता है। यदि बिना थैले को देखे यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंद –

(i) नारंगी रंग की हो
(ii) नारंगी रंग की न हो

कुल गेंदें = 10+10+10 = 30

(i) नारंगी गेंदें = 10
P(नारंगी) = 10/30 = 1/3

P(नारंगी) = 1/3

(ii) नारंगी न हो = 1 - P(नारंगी) = 1 - 1/3 = 2/3

P(नारंगी नहीं) = 2/3

प्रश्न 8

17 कार्ड पर 1 से 17 तक की संख्याएँ अंकित करके एक डिब्बे में रखकर अच्छी तरह से मिलाया जाता है। एक व्यक्ति डिब्बे में से एक कार्ड निकालता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड पर लिखी संख्या –

कुल कार्ड = 17

(i) किसी विशिष्ट संख्या, जैसे 7, को निकालने की प्रायिकता:
P(7) = 1/17

उत्तर = 1/17

(ii) किसी विषम संख्या निकालने की प्रायिकता:
विषम संख्या = 1,3,5,...17 → कुल 9 संख्या
P(विषम) = 9/17

P(विषम) = 9/17

प्रश्न 9

यदि P(E) = 0.05 है, तो 'E नहीं' की प्रायिकता क्या है?

Formula: P(E नहीं) = 1 - P(E)

P(E नहीं) = 1 - 0.05 = 0.95

उत्तर = 0.95

प्रश्न 10

एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मोती गोड़ियाँ हैं। मालिनी बिना देखे उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली –

(i) संतरे की महक वाली है?
(ii) नींबू की महक वाली है?

थैले में केवल नींबू की गोली हैं → कोई संतरे की गोली नहीं है

(i) P(संतरे की) = 0

(ii) P(नींबू की) = 1

उत्तर: (i) 0, (ii) 1

प्रश्न 11

3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्म-दिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?

P(एक ही दिन न होने की संभावना) = 0.992

Formula: P(एक ही दिन) = 1 - P(एक ही दिन न होने की संभावना)

P(एक ही दिन) = 1 - 0.992 = 0.008

उत्तर = 0.008

प्रश्न 12

एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद –

(i) लाल हो
(ii) लाल न हो

कुल गेंदें = 3 + 5 = 8

(i) लाल गेंद = 3
P(लाल) = 3/8

उत्तर (i) = 3/8

(ii) लाल न हो = 1 - P(लाल) = 1 - 3/8 = 5/8

उत्तर (ii) = 5/8

प्रश्न 13

एक डिब्बे में 5 लाल, 8 सफेद और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया कंचा –

(i) लाल है
(ii) सफेद है
(iii) हरा नहीं है

कुल कंचे = 5 + 8 + 4 = 17

(i) लाल = 5 → P(लाल) = 5/17

उत्तर (i) = 5/17

(ii) सफेद = 8 → P(सफेद) = 8/17

उत्तर (ii) = 8/17

(iii) हरा नहीं = कुल - हरा = 17 - 4 = 13
P(हरा नहीं) = 13/17

उत्तर (iii) = 13/17

प्रश्न 14

एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के 100 सिक्के, ₹1 के 50 सिक्के, ₹2 के 20 सिक्के और ₹5 के 10 सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम समप्रायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का –

(i) 50 पैसे का होगा
(ii) ₹5 का नहीं होगा

कुल सिक्के = 100 + 50 + 20 + 10 = 180

(i) 50 पैसे के सिक्के = 100
P(50 पैसे) = 100 / 180 = 10 / 18 = 5 / 9

उत्तर (i) = 5/9

(ii) ₹5 का नहीं = 1 - P(₹5) = 1 - 10/180 = 170/180 = 17/18

उत्तर (ii) = 17/18

प्रश्न 15

गोपी अपने जल-जीव कुंड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी में 5 नर मछली और 8 मादा मछली हैं। में से एक मछली यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

कुल मछली = 5 + 8 = 13

नर मछली = 5 → P(नर) = 5 / 13

उत्तर = 5/13

प्रश्न 16

एक खेल (chance) के खेल में एक तीर को घुमाया जाता है, जो विभाग में आने के बार संख्या 1,2,3,4,5,6,7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित –

(i) 8 को करेगा
(ii) एक विषम संख्या को करेगा
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा

कुल परिणाम = 8 (1,2,3,4,5,6,7,8)

(i) 8 → P = 1/8

उत्तर (i) = 1/8

(ii) विषम संख्या = 1,3,5,7 → 4 परिणाम
P(विषम) = 4/8 = 1/2

उत्तर (ii) = 1/2

(iii) 2 से बड़ी संख्या = 3,4,5,6,7,8 → 6 परिणाम
P = 6/8 = 3/4

उत्तर (iii) = 3/4

(iv) 9 से छोटी संख्या = 1,2,3,4,5,6,7,8 → 8 परिणाम
P = 8/8 = 1

उत्तर (iv) = 1

प्रश्न 17

एक पासे को एक बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए –

(i) एक अभाज्य संख्या
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या
(iii) एक विषम संख्या

कुल परिणाम = 6 (1,2,3,4,5,6)

(i) अभाज्य संख्या = 2,3,5 → 3 परिणाम
P = 3/6 = 1/2

उत्तर (i) = 1/2

(ii) 2 और 6 के बीच स्थित संख्या = 3,4,5 → 3 परिणाम
P = 3/6 = 1/2

उत्तर (ii) = 1/2

(iii) विषम संख्या = 1,3,5 → 3 परिणाम
P = 3/6 = 1/2

उत्तर (iii) = 1/2

प्रश्न 18

52 पत्तों की अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए –

(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) एक फेस कार्ड (तस्वीर वाला पत्ता)
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iv) पान का गुलाम
(v) हुकुम का पत्ता
(vi) एक ईंट की बेम्म

कुल पत्ते = 52

(i) लाल बादशाह = 2 → P = 2/52 = 1/26

उत्तर (i) = 1/26

(ii) फेस कार्ड = 12 → P = 12/52 = 3/13

उत्तर (ii) = 3/13

(iii) लाल तस्वीर = 2 → P = 2/52 = 1/26

उत्तर (iii) = 1/26

(iv) पान का गुलाम = 1 → P = 1/52

उत्तर (iv) = 1/52

(v) हुकुम का पत्ता = 4 → P = 4/52 = 1/13

उत्तर (v) = 1/13

(vi) ईंट की बेम्म = 1 → P = 1/52

उत्तर (vi) = 1/52

प्रश्न 19

ताश के पाँच पत्तों – ईंट का दहला, गुलाम, बेम्म, बादशाह और इक्का – को पलट कर अच्छी तरह फेंटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है –

(i) इसका क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेम्म है?
(ii) यदि बेम्म निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता – (a) एक इक्का है (b) एक बेम्म है?

कुल पत्ते = 5

(i) बेम्म = 1 → P = 1/5

उत्तर (i) = 1/5

(ii) बेम्म निकाल दी → बचा पत्ता = 4

(a) इक्का = 1 → P = 1/4

उत्तर (ii a) = 1/4

(b) बेम्म = 0 → P = 0

उत्तर (ii b) = 0

प्रश्न 20

किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेन में मिल गए। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा। इस मिश्रण में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकालने पर पेन के अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

कुल पेन = 12 + 132 = 144

अच्छे पेन = 132 → P(अच्छा) = 132/144 = 11/12

उत्तर = 11/12

प्रश्न 21

एक डिब्बे में 6 लाल और 4 काले गेंदें हैं। इस डिब्बे से यादृच्छया 2 गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि –

(i) दोनों लाल हों
(ii) एक लाल और एक काली हों

कुल गेंदें = 6 + 4 = 10

(i) दोनों लाल हों → n(E) = 6C2 = 15
कुल संभावित 2 गेंदों की जोड़ी = 10C2 = 45

P(दोनों लाल) = 15/45 = 1/3

(ii) एक लाल और एक काली → n(E) = 6 × 4 = 24

P(एक लाल और एक काली) = 24/45 = 8/15

प्रश्न 22

एक पासे को दो बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि –

(i) दोनों बार 6 आए
(ii) कम से कम एक बार 6 आए

कुल परिणाम = 6 × 6 = 36

(i) दोनों बार 6 → केवल एक favorable outcome = (6,6)
P = 1/36

उत्तर (i) = 1/36

(ii) कम से कम एक बार 6 → P = 1 - P(दोनों बार 6 नहीं)

P(दोनों बार 6 नहीं) = 5/6 × 5/6 = 25/36
P(कम से कम एक 6) = 1 - 25/36 = 11/36

उत्तर (ii) = 11/36

प्रश्न 23

एक टोकरी में 3 लाल, 2 हरे और 1 नीले गेंद हैं। एक गेंद निकालने पर इसकी क्या प्रायिकता है कि यह –

(i) लाल है
(ii) हरा या नीला है

कुल गेंदें = 3 + 2 + 1 = 6

(i) लाल = 3 → P(लाल) = 3/6 = 1/2

उत्तर (i) = 1/2

(ii) हरा या नीला = 2 + 1 = 3 → P = 3/6 = 1/2

उत्तर (ii) = 1/2

प्रश्न 24

एक डिब्बे में 5 लाल और 7 काले गेंदें हैं। यादृच्छया 3 गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि –

(i) सभी लाल हों
(ii) सभी काले हों
(iii) दो लाल और एक काली हों

कुल गेंदें = 5 + 7 = 12
कुल 3 गेंदों की संयोजन = 12C3 = 220

(i) सभी लाल = 5C3 = 10 → P = 10/220 = 1/22

उत्तर (i) = 1/22

(ii) सभी काले = 7C3 = 35 → P = 35/220 = 7/44

उत्तर (ii) = 7/44

(iii) दो लाल और एक काली → 5C2 × 7C1 = 10 × 7 = 70 → P = 70/220 = 7/22

उत्तर (iii) = 7/22

प्रश्न 25

एक डिब्बे में 4 लाल, 3 हरे और 2 नीले गेंद हैं। यादृच्छया 2 गेंदें निकालने पर प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों –

(i) लाल हों
(ii) विभिन्न रंग की हों

कुल गेंदें = 4 + 3 + 2 = 9
कुल 2 गेंदों की संयोजन = 9C2 = 36

(i) दोनों लाल = 4C2 = 6 → P = 6/36 = 1/6

उत्तर (i) = 1/6

(ii) विभिन्न रंग की → favorable = लाल-हरा, लाल-नीला, हरा-नीला combinations:
लाल-हरा = 4×3=12
लाल-नीला = 4×2=8
हरा-नीला = 3×2=6 → total = 26
P(विभिन्न रंग) = 26/36 = 13/18

उत्तर (ii) = 13/18

प्रश्न 26

एक डिब्बे में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यादृच्छया 2 गेंदें निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि –

(i) दोनों लाल हों
(ii) कम से कम एक काली हो

कुल गेंदें = 3 + 5 = 8
कुल 2 गेंदों की संयोजन = 8C2 = 28

(i) दोनों लाल = 3C2 = 3 → P = 3/28

उत्तर (i) = 3/28

(ii) कम से कम एक काली → P = 1 - P(दोनों लाल) = 1 - 3/28 = 25/28

उत्तर (ii) = 25/28

प्रश्न 27

एक पासे को एक बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि –

(i) 4 या 5 आए
(ii) 2 से कम आए

कुल परिणाम = 6 (1,2,3,4,5,6)

(i) 4 या 5 → 2 परिणाम
P = 2/6 = 1/3

उत्तर (i) = 1/3

(ii) 2 से कम → केवल 1
P = 1/6

उत्तर (ii) = 1/6

प्रश्न 28

एक डिब्बे में 7 लाल, 5 हरे और 8 काले गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि –

(i) लाल हो
(ii) काली या हरी हो
(iii) लाल न हो

कुल गेंदें = 7 + 5 + 8 = 20

(i) लाल = 7 → P = 7/20

उत्तर (i) = 7/20

(ii) काली या हरी = 8 + 5 = 13 → P = 13/20

उत्तर (ii) = 13/20

(iii) लाल न हो = 1 - P(लाल) = 1 - 7/20 = 13/20

उत्तर (iii) = 13/20

प्रश्न 29

एक टोकरी में 4 नीले, 6 लाल और 5 हरे गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकालने पर इसकी क्या प्रायिकता है कि यह –

(i) नीली हो
(ii) लाल या हरी हो
(iii) नीली न हो

कुल गेंदें = 4 + 6 + 5 = 15

(i) नीली = 4 → P = 4/15

उत्तर (i) = 4/15

(ii) लाल या हरी = 6 + 5 = 11 → P = 11/15

उत्तर (ii) = 11/15

(iii) नीली न हो = 1 - P(नीली) = 1 - 4/15 = 11/15

उत्तर (iii) = 11/15